Quantos arranjos existem de 9 elementos tomados de 3 em 3?

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma questão de combinatória. A pergunta é: “Quantos arranjos existem de 9 elementos tomados de 3 em 3?” Ou seja, queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos organizar 3 elementos escolhidos entre 9 disponíveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um arranjo. Em combinatória, um arranjo, também conhecido como permutação, é uma seleção de elementos onde a ordem importa. Isso significa que a ordem em que escolhemos os elementos faz diferença no resultado final.

Passo 3

Para calcular o número de arranjos de $ n $ elementos tomados de $ k $ em $ k $, usamos a fórmula de permutação:
n
Aqui, $ n! $ (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.

Passo 4

No nosso caso, temos $ n = 9 $ elementos e queremos tomar $ k = 3 $ em 3. Substituindo na fórmula:
n = 9

Passo 5

Agora, vamos calcular o fatorial:
9! = 9 times 8 times 7 times 6!
Note que o $ 6! $ no numerador e no denominador se cancelam:
6!

Resposta

Existem 504 arranjos possíveis de 9 elementos tomados de 3 em 3.

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