Quantos bits são necessários para representar cada um dos números seguintes.
\quad 127_{10}

Passo 1

O enunciado pede claramente: “Quantos bits são necessários para representar o número 127_{10}?”
Informações dadas:
  • O número a representar é 127 (base decimal), isto é, 127_{10}.
    Não há nenhuma outra indicação (por exemplo, se é representação com sinal ou sem sinal).

Passo 2

Vamos entender o que significa “quantos bits são necessários”. Cada bit numa representação binária corresponde a uma potência de dois: o bit menos significativo vale 2^{0}, o seguinte vale 2^{1}, e assim por diante. Se tivermos k bits, sem sinal (ou seja, todos os bits usados para magnitudes não-negativas), os valores possíveis vão de 0 até
2^{k}-1.
Portanto, para representar um inteiro não-negativo n precisamos encontrar o menor inteiro k que satisfaça
2^{k}-1 \ge n.
Uma forma equivalente e prática dessa condição é
k = \lfloor \log_{2} n \rfloor + 1,
onde n é o número a representar, \log_{2} é o logaritmo na base 2 e \lfloor \cdot \rfloor denota a parte inteira (piso). Explicando as variáveis:
  • n = o inteiro não-negativo que queremos representar (aqui n=127);
  • k = número mínimo de bits necessários.
Pequeno detalhe útil: para n=0 vale k=1 (um bit para representar zero).

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao caso n=127. Primeiro, comparar 127 com potências de dois simples:
2^{6} = 64, \qquad 2^{7} = 128.
Observe que
2^{6} \le 127 < 2^{7}.
Isso implica que \lfloor \log_{2} 127 \rfloor = 6. Usando a fórmula,
k = \lfloor \log_{2} 127 \rfloor + 1 = 6 + 1 = 7.
Logo, são necessários 7 bits para representar 127 em representação binária sem sinal.

Passo 4

Para fixar a intuição, vejamos a própria representação binária de 127. Com 7 bits todos iguais a 1 temos o número
1111111_{2}.
Verificando a soma das potências de dois:
1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+\cdots+1\cdot2^{0}=\sum_{i=0}^{6}2^{i}=2^{7}-1=127.
Portanto, 1111111_{2} usa exatamente 7 bits e vale 127_{10}, o que confirma que 7 bits são suficientes e que menos de 7 bits não bastariam (pois com 6 bits o máximo é 2^{6}-1=63).

Passo 5

Uma observação importante (para provas): se a questão pedisse representação com sinal usando complemento de dois, o número de bits necessário para armazenar o valor +127 pode ser diferente. Em complemento de dois, k bits permitem representar inteiros no intervalo -2^{k-1} até 2^{k-1}-1. Para conter +127 seria necessário ter 2^{k-1}-1 \ge 127, o que dá k-1 \ge 7 e portanto k\ge 8. Assim:
  • sem sinal (valor puro) o mínimo é 7 bits;
  • em complemento de dois (com sinal) são necessários 8 bits para acomodar +127 no intervalo padrão.

Resposta

7\\ \text{bits}

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