Quantos bits são necessários para representar cada um dos números seguintes.
34_{8}

Passo 1

O enunciado dá o número em base octal 34_8 e pede: quantos bits (ou seja, quantos dígitos em base 2) são necessários para representá-lo?
Informações fornecidas:
  • O número dado é \;34_8.

Passo 2

O que significa “quantos bits são necessários”? Significa achar a representação em base 2 (binária) do número e contar quantos dígitos binários essa representação tem, sem contar zeros à esquerda (ou seja, a representação mínima). Vou mostrar duas formas equivalentes e didáticas de obter isso: (A) converter primeiro para decimal e depois para binário; (B) usar a relação direta entre dígitos octais e blocos de 3 bits. Também farei uma verificação com potências de dois.

Passo 3

Converter \;34_8 para decimal usando os pesos das posições em base 8. A posição das dezenas (mais significativa) vale 8 e a das unidades vale 1. Assim:
34_8 = 3\cdot 8 + 4\cdot 1 = 24 + 4 = 28.
Portanto o número em decimal é \;28_{10}.

Passo 4

Converter \;28_{10} para binário pelo método das divisões por 2 (restos):
\begin{array}{l} 28 \div 2 = 14\quad\text{resto }0\\\\ 14 \div 2 = 7\quad\text{resto }0\\\\ 7 \div 2 = 3\quad\text{resto }1\\\\ 3 \div 2 = 1\quad\text{resto }1\\\\ 1 \div 2 = 0\quad\text{resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a representação binária \;11100_2. Contando os dígitos: são 5 bits.

Passo 5

Conversão direta (atalho útil): cada dígito octal corresponde exatamente a 3 bits (porque 8=2^3). Mapeando dígito a dígito:
3_8 \longrightarrow 011_2,\qquad 4_8 \longrightarrow 100_2.
Concatenando: 34_8 \longrightarrow 011\,100_2. Removendo zeros à esquerda que não mudam o valor, ficamos com 11100_2, novamente 5 bits. Essa é uma forma prática que funciona sempre para números escritos em octal.

Passo 6

Verificação por potências de dois (maneira teórica): o número n=28 satisfaz
2^4 = 16 < 28 < 32 = 2^5.
Isso mostra que a representação binária precisa de 5 bits, porque 5 bits representam todos os inteiros de 0 até 2^5-1=31, e 28 exige o bit de ordem 2^4 (ou seja, o quinto bit).

Passo 7

Conclusão prática e dica para prova: para um número em octal com m dígitos, o máximo de bits que pode aparecer é 3m, mas sempre é possível ter menos se o primeiro dígito octal for pequeno (como aqui, onde o primeiro dígito 3 usa só dois bits efetivos). Para decidir rápido em prova, ou faça a conversão direta dígito-a-dígito e remova zeros à esquerda, ou compare com potências de dois.

Resposta

5\\ \text{bits}

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