Quantos bits são necessários para representar cada um dos números seguintes.
Passo 1
O enunciado dá o número em base octal
e pede: quantos bits (ou seja, quantos dígitos em base 2) são necessários para representá-lo?
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O número dado é
.
Passo 2
O que significa “quantos bits são necessários”? Significa achar a representação em base 2 (binária) do número e contar quantos dígitos binários essa representação tem, sem contar zeros à esquerda (ou seja, a representação mínima). Vou mostrar duas formas equivalentes e didáticas de obter isso: (A) converter primeiro para decimal e depois para binário; (B) usar a relação direta entre dígitos octais e blocos de 3 bits. Também farei uma verificação com potências de dois.
Passo 3
Converter
para decimal usando os pesos das posições em base 8. A posição das dezenas (mais significativa) vale
e a das unidades vale
. Assim:
Portanto o número em decimal é
.
Passo 4
Converter
para binário pelo método das divisões por
(restos):
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a representação binária
. Contando os dígitos: são
bits.
Passo 5
Conversão direta (atalho útil): cada dígito octal corresponde exatamente a
bits (porque
). Mapeando dígito a dígito:
Concatenando:
. Removendo zeros à esquerda que não mudam o valor, ficamos com
, novamente
bits. Essa é uma forma prática que funciona sempre para números escritos em octal.
Passo 6
Verificação por potências de dois (maneira teórica): o número
satisfaz
Isso mostra que a representação binária precisa de
bits, porque
bits representam todos os inteiros de
até
, e
exige o bit de ordem
(ou seja, o quinto bit).
Passo 7
Conclusão prática e dica para prova: para um número em octal com
dígitos, o máximo de bits que pode aparecer é
, mas sempre é possível ter menos se o primeiro dígito octal for pequeno (como aqui, onde o primeiro dígito
usa só dois bits efetivos). Para decidir rápido em prova, ou faça a conversão direta dígito-a-dígito e remova zeros à esquerda, ou compare com potências de dois.