Quantos bits são necessários para representar cada um dos números seguintes.
Passo 1
O que o problema pede: determinar quantos bits são necessários para representar o número
.
O que o enunciado dá: o número tem dois algarismos na base octal (base ), são os algarismos
e
.
O que o enunciado dá: o número tem dois algarismos na base octal (base
Passo 2
O que é um bit e como contar quantos são necessários (explicação didática).
- Um bit é um dígito em base
: pode ser ou . - Para representar um número inteiro positivo
em binário sem zeros à esquerda, o número mínimo de bits necessários é
onde
é o logaritmo base
. Isso vem do fato de que com
bits podemos representar inteiros de
até
.
- Uma maneira prática, quando o número está em base octal (
), é usar o truque que vem a seguir.
Passo 3
Por que dígitos octais se convertem facilmente para bits (truque importante para a prova).
- A base octal é
. Isso significa que cada dígito octal corresponde exatamente a bits binários (porque ). - Logo, cada algarismo octal pode ser substituído por um bloco de
bits (possivelmente com zeros à esquerda dentro desse bloco). Por exemplo: -
corresponde a (porque ), -
corresponde a (porque ).
Esse é um método rápido e sem cálculo decimal extra.
-
Passo 4
Aplicando o mapeamento dígito-a-dígito ao nosso número
.
- Converter cada dígito:
-
, -
.
-
- Juntando os blocos (na mesma ordem):
.
Passo 5
Contando os bits e observação sobre zeros à esquerda.
- A representação binária obtida é
. - Esse número tem exatamente
bits (contando todos os dígitos binários sem incluir zeros à esquerda extras). - Note que poderíamos também ter calculado o valor decimal e aplicado
para conferir: Em binário é , cujo maior bit é , então o número de bits é . Isso confirma.
Passo 6
Dica de prova rápida: sempre que a base for uma potência de
(como
ou
), converta dígito por dígito usando blocos de
ou
bits; depois elimine zeros à esquerda do bloco mais significativo, e conte os bits restantes.