Quantos bits são necessários para representar cada um dos números seguintes.
\quad 67_{8}

Passo 1

O que o problema pede: determinar quantos bits são necessários para representar o número \,67_{8}\,.
O que o enunciado dá: o número tem dois algarismos na base octal (base 8), são os algarismos \,6 e \,7.

Passo 2

O que é um bit e como contar quantos são necessários (explicação didática).
  • Um bit é um dígito em base 2: pode ser \,0 ou \,1.
  • Para representar um número inteiro positivo N em binário sem zeros à esquerda, o número mínimo de bits necessários é
\lfloor \log_2(N)\rfloor + 1,
onde \log_2 é o logaritmo base 2. Isso vem do fato de que com k bits podemos representar inteiros de 0 até 2^{k}-1.
  • Uma maneira prática, quando o número está em base octal ( 8), é usar o truque que vem a seguir.

Passo 3

Por que dígitos octais se convertem facilmente para bits (truque importante para a prova).
  • A base octal é \,8 = 2^{3}. Isso significa que cada dígito octal corresponde exatamente a 3 bits binários (porque 2^{3}=8).
  • Logo, cada algarismo octal pode ser substituído por um bloco de 3 bits (possivelmente com zeros à esquerda dentro desse bloco). Por exemplo:
    • \,6_{8} corresponde a \,110_{2} (porque 6 = 4+2 = 2^{2}+2^{1}),
    • \,7_{8} corresponde a \,111_{2} (porque 7 = 4+2+1).
      Esse é um método rápido e sem cálculo decimal extra.

Passo 4

Aplicando o mapeamento dígito-a-dígito ao nosso número \,67_{8}.
  • Converter cada dígito:
    • \,6_{8} \mapsto 110_{2},
    • \,7_{8} \mapsto 111_{2}.
  • Juntando os blocos (na mesma ordem): \,67_{8} \mapsto 110111_{2}.

Passo 5

Contando os bits e observação sobre zeros à esquerda.
  • A representação binária obtida é \,110111_{2}.
  • Esse número tem exatamente 6 bits (contando todos os dígitos binários sem incluir zeros à esquerda extras).
  • Note que poderíamos também ter calculado o valor decimal e aplicado \lfloor\log_2(N)\rfloor+1 para conferir: 67_{8} = 6\cdot 8 + 7 = 48 + 7 = 55.Em binário 55 é \,110111_{2}, cujo maior bit é 2^{5}, então o número de bits é 5+1=6. Isso confirma.

Passo 6

Dica de prova rápida: sempre que a base for uma potência de 2 (como 8=2^{3} ou 16=2^{4}), converta dígito por dígito usando blocos de 3 ou 4 bits; depois elimine zeros à esquerda do bloco mais significativo, e conte os bits restantes.

Resposta

6 bits

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