Quantos ciclos de comprimento 5 há em S_{5} ? Generalize: quantos ciclos de comprimento n há em S_{n} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Quantos ciclos de comprimento 5 há em S_{5}.
  • Generalizar: quantos ciclos de comprimento n há em S_{n}.
Informações relevantes fornecidas/implicadas:
  • S_{5} é o grupo de todas as permutações dos elementos \{1,2,3,4,5\}.
  • Um “ciclo de comprimento 5” é uma permutação que consiste exatamente de um ciclo contendo 5 elementos (isto é, um 5-ciclo).
  • Na generalização, procura-se o número de n-ciclos em S_{n}.

Passo 2

O que é um k-ciclo (definição e exemplo simples):
  • Um k-ciclo é uma permutação que envia a_1\mapsto a_2,\; a_2\mapsto a_3,\;\dots,\; a_{k-1}\mapsto a_k,\; a_k\mapsto a_1 e fixa todos os outros elementos.
  • Notação: (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k).
  • Exemplo concreto: (1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\\\ 5) em S_5 envia 1\to2,\;2\to3,\;3\to4,\;4\to5,\;5\to1.
  • Observação crucial para contagem: a mesma ação de ciclo tem k escritas diferentes por rotações. Por exemplo (a_1\\ a_2\\ a_3)=(a_2\\ a_3\\ a_1)=(a_3\\ a_1\\ a_2). Essas escritas representam a mesma permutação.

Passo 3

Estratégia de contagem (ideia principal, passo a passo):
  1. Para construir um k-ciclo em S_n escolhemos primeiro quais k elementos dentre os n serão os que aparecem no ciclo. O número de escolhas é \binom{n}{k}.
  2. Dados esses k elementos distintos, podemos ordená‑los de k! maneiras distintas como sequência (a_1,a_2,\dots,a_k). Cada sequência define uma escrita (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k).
  3. Porém, cada ciclo tem exatamente k escritas diferentes por rotações (porque começar em qualquer um dos k elementos dá a mesma permutação). Logo cada ciclo foi contado k vezes na contagem k!.
  4. Portanto, o número de ciclos distintos que usam exatamente aqueles k elementos é \dfrac{k!}{k}=(k-1)!.
  5. Multiplicando pela escolha do subconjunto, o número total de k-ciclos em S_n é
\binom{n}{k}\,(k-1)!.

Passo 4

Forma alternativa da mesma fórmula (às vezes mais conveniente):
  • Expandindo \binom{n}{k}=(n!)/(k!(n-k)!) e multiplicando por (k-1)! obtemos
\binom{n}{k}(k-1)! = \frac{n!}{k!(n-k)!}\,(k-1)! = \frac{n!}{(n-k)!\,k}.
  • Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do contexto.

Passo 5

Aplicação ao caso específico S_{5} com ciclos de comprimento 5:
  • Aqui n=5 e k=5.
  • O número de 5-ciclos é
\binom{5}{5}(5-1)! = 1\cdot 4! = 24.
  • Intuição: como o ciclo deve usar todos os 5 elementos, basta contar as ordenações circulares distintas; há (5-1)!=24 delas.

Passo 6

Generalização para ciclos de comprimento n em S_{n}:
  • Tomando k=n na fórmula geral \binom{n}{k}(k-1)!, obtemos
\binom{n}{n}(n-1)! = 1\cdot (n-1)! = (n-1)!.
  • Interpretação: um n-ciclo em S_n é uma ordem circular de todos os n elementos, e há (n-1)! ordens circulares distintas.

Resposta

24
(n-1)!

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