Quantos ciclos de comprimento 5 há em
? Generalize: quantos ciclos de comprimento
há em
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Quantos ciclos de comprimento 5 há em
. - Generalizar: quantos ciclos de comprimento
há em .
Informações relevantes fornecidas/implicadas:
-
é o grupo de todas as permutações dos elementos . - Um “ciclo de comprimento 5” é uma permutação que consiste exatamente de um ciclo contendo 5 elementos (isto é, um 5-ciclo).
- Na generalização, procura-se o número de
-ciclos em .
Passo 2
O que é um
-ciclo (definição e exemplo simples):
- Um
-ciclo é uma permutação que envia e fixa todos os outros elementos. - Notação:
. - Exemplo concreto:
em envia . - Observação crucial para contagem: a mesma ação de ciclo tem
escritas diferentes por rotações. Por exemplo . Essas escritas representam a mesma permutação.
Passo 3
Estratégia de contagem (ideia principal, passo a passo):
- Para construir um
-ciclo em escolhemos primeiro quais elementos dentre os serão os que aparecem no ciclo. O número de escolhas é . - Dados esses
elementos distintos, podemos ordená‑los de maneiras distintas como sequência . Cada sequência define uma escrita . - Porém, cada ciclo tem exatamente
escritas diferentes por rotações (porque começar em qualquer um dos elementos dá a mesma permutação). Logo cada ciclo foi contado vezes na contagem . - Portanto, o número de ciclos distintos que usam exatamente aqueles
elementos é . - Multiplicando pela escolha do subconjunto, o número total de
-ciclos em é
Passo 4
Forma alternativa da mesma fórmula (às vezes mais conveniente):
- Expandindo
e multiplicando por obtemos
- Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do contexto.
Passo 5
Aplicação ao caso específico
com ciclos de comprimento 5:
- Aqui
e . - O número de 5-ciclos é
- Intuição: como o ciclo deve usar todos os 5 elementos, basta contar as ordenações circulares distintas; há
delas.
Passo 6
Generalização para ciclos de comprimento
em
:
- Tomando
na fórmula geral , obtemos
- Interpretação: um
-ciclo em é uma ordem circular de todos os elementos, e há ordens circulares distintas.