Para cada uma das permutações abaixo, escreva sua decomposição cíclica e determine sua paridade.
\left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 1 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a permutação escrita no formato por duas linhas (imagem numérica) e pede duas coisas:
  • escrever a decomposição cíclica dessa permutação;
  • determinar a paridade da permutação (se é par ou ímpar).
    As informações fornecidas (a partir do enunciado) são a ação da permutação sobre os elementos \,1,2,\dots,11:
\begin{array}{c} 1\mapsto3,\quad 2\mapsto5,\quad 3\mapsto7,\quad 4\mapsto9,\quad 5\mapsto11,\\[2pt] 6\mapsto1,\quad 7\mapsto2,\quad 8\mapsto4,\quad 9\mapsto6,\quad 10\mapsto8,\quad 11\mapsto10. \end{array}]

Passo 2

Explicação do que é uma decomposição em ciclos e como encontrá-la (aula rápida e prática).
  • Uma permutação de um conjunto finito pode ser escrita como produto de ciclos disjuntos.
  • Para obter esses ciclos: escolhe-se um elemento que ainda não apareceu em nenhum ciclo, segue-se sua imagem, depois a imagem da imagem, e assim por diante, até retornar ao elemento inicial; isso fecha um ciclo. Repete-se com outro elemento não usado até cobrir todos os elementos.
  • Notação de ciclo: (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) significa que a_1\mapsto a_2,\\ a_2\mapsto a_3,\\ \dots,\\ a_k\mapsto a_1.
    Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao caso dado.

Passo 3

Construindo o primeiro ciclo começando por 1:
  • 1\mapsto3.
  • 3\mapsto7.
  • 7\mapsto2.
  • 2\mapsto5.
  • 5\mapsto11.
  • 11\mapsto10.
  • 10\mapsto8.
  • 8\mapsto4.
  • 4\mapsto9.
  • 9\mapsto6.
  • 6\mapsto1, que retorna ao início.
    Portanto obtemos o ciclo (seguindo a cadeia de imagens)
(1\\\ 3\\\ 7\\\ 2\\\ 5\\\ 11\\\ 10\\\ 8\\\ 4\\\ 9\\\ 6).
Verificação de cobertura: o ciclo encontrado contém exatamente os elementos \,1,2,\dots,11. Assim não restam elementos fora dos ciclos; logo a decomposição em ciclos disjuntos da permutação é simplesmente o único ciclo de comprimento 11 obtido.

Passo 4

Agora a paridade. Conceito e fórmula curta (aula):
  • A paridade de uma permutação é “par” se ela puder ser escrita como produto de um número par de transposições (trocas de dois elementos), e “ímpar” caso contrário.
  • Fato útil e simples: um ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições, por exemplo
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) = (a_1\\ a_k)(a_1\\ a_{k-1})\cdots(a_1\\ a_2).
  • Para ciclos disjuntos, a paridade da permutação é a paridade da soma dos (k_i-1) dos ciclos de comprimentos k_i. Em termos práticos: se a soma \sum_i (k_i-1) é par, a permutação é par; se é ímpar, a permutação é ímpar.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: temos um único ciclo de comprimento k=11. Então ele se decompõe em k-1=11-1=10 transposições. O número 10 é par, portanto a permutação é de paridade par.

Resposta

(1\\\ 3\\\ 7\\\ 2\\\ 5\\\ 11\\\ 10\\\ 8\\\ 4\\\ 9\\\ 6)
par

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