O enunciado dá a permutação escrita no formato por duas linhas (imagem numérica) e pede duas coisas:
escrever a decomposição cíclica dessa permutação;
determinar a paridade da permutação (se é par ou ímpar).
As informações fornecidas (a partir do enunciado) são a ação da permutação sobre os elementos \,1,2,\dots,11:
Explicação do que é uma decomposição em ciclos e como encontrá-la (aula rápida e prática).
Uma permutação de um conjunto finito pode ser escrita como produto de ciclos disjuntos.
Para obter esses ciclos: escolhe-se um elemento que ainda não apareceu em nenhum ciclo, segue-se sua imagem, depois a imagem da imagem, e assim por diante, até retornar ao elemento inicial; isso fecha um ciclo. Repete-se com outro elemento não usado até cobrir todos os elementos.
Notação de ciclo: (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) significa que a_1\mapsto a_2,\\ a_2\mapsto a_3,\\ \dots,\\ a_k\mapsto a_1.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao caso dado.
Passo 3
Construindo o primeiro ciclo começando por 1:
1\mapsto3.
3\mapsto7.
7\mapsto2.
2\mapsto5.
5\mapsto11.
11\mapsto10.
10\mapsto8.
8\mapsto4.
4\mapsto9.
9\mapsto6.
6\mapsto1, que retorna ao início.
Portanto obtemos o ciclo (seguindo a cadeia de imagens)
Verificação de cobertura: o ciclo encontrado contém exatamente os elementos \,1,2,\dots,11. Assim não restam elementos fora dos ciclos; logo a decomposição em ciclos disjuntos da permutação é simplesmente o único ciclo de comprimento 11 obtido.
Passo 4
Agora a paridade. Conceito e fórmula curta (aula):
A paridade de uma permutação é “par” se ela puder ser escrita como produto de um número par de transposições (trocas de dois elementos), e “ímpar” caso contrário.
Fato útil e simples: um ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições, por exemplo
Para ciclos disjuntos, a paridade da permutação é a paridade da soma dos (k_i-1) dos ciclos de comprimentos k_i. Em termos práticos: se a soma \sum_i (k_i-1) é par, a permutação é par; se é ímpar, a permutação é ímpar.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: temos um único ciclo de comprimento k=11. Então ele se decompõe em k-1=11-1=10 transposições. O número 10 é par, portanto a permutação é de paridade par.