determinar a paridade (se a permutação é par ou ímpar).
Passo 2
O que é decomposição cíclica (explicação didática):
Um ciclo lista um conjunto de elementos que se permutam entre si. Por exemplo, o ciclo (a\\ b\\ c) significa a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a.
Para decompor uma permutação, pego o menor elemento ainda não usado, sigo sua imagem, depois a imagem da imagem, e assim por diante, até voltar ao ponto inicial; isso forma um ciclo. Repito até cobrir todos os elementos.
Cada ciclo de tamanho k pode ser escrito como produto de k-1 transposições (isto será útil para a paridade).
Passo 3
Começo a formar ciclos a partir de 1. Usando a permutação dada:
1 \mapsto 8.
Agora sigo 8:
8 \mapsto 3.
Depois
3 \mapsto 10, \qquad 10 \mapsto 1,
e voltamos a 1. Portanto, obtemos o ciclo
(1\\\ 8\\\ 3\\\ 10).
Marquei os elementos 1,8,3,10 como usados.
Passo 4
Próximo menor elemento não usado é 2. Sigo as imagens:
Observação: ciclos disjuntos comutam, então a ordem entre esses três ciclos não importa.
Passo 7
Explicando a paridade (aula curta):
A paridade de uma permutação é “par” se ela pode ser escrita como produto de um número par de transposições (trocas de dois elementos), e “ímpar” se precisar de um número ímpar de transposições.
Um ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições. Uma forma padrão de escrever um k-ciclo (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) em transposições é
(a_1\\ a_k)(a_1\\ a_{k-1})\cdots(a_1\\ a_2),
que mostra que são k-1 transposições.
Portanto, a paridade de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}: se k-1 for par, o ciclo é par; se k-1 for ímpar, o ciclo é ímpar.
Passo 8
Aplico isso aos ciclos encontrados:
Para (1\\\ 8\\\ 3\\\ 10): comprimento 4, contribui com 4-1=3 transposições.
Para (2\\\ 6\\\ 4\\\ 9): comprimento 4, contribui com 4-1=3 transposições.
Para (5\\\ 11\\\ 7): comprimento 3, contribui com 3-1=2 transposições.
Somando o número total de transposições necessárias:
3 + 3 + 2 = 8.
Passo 9
Como 8 é um número par, a permutação é uma produto de um número par de transposições. Portanto, a permutação é par.