Para cada uma das permutações abaixo, escreva sua decomposição cíclica e determine sua paridade.
\left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\ 8 & 6 & 10 & 9 & 11 & 4 & 5 & 3 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação escrita em notação de duas linhas (peguei estes números do enunciado):
\left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\ 8 & 6 & 10 & 9 & 11 & 4 & 5 & 3 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right)
O que é pedido:
  • escrever a decomposição cíclica dessa permutação;
  • determinar a paridade (se a permutação é par ou ímpar).

Passo 2

O que é decomposição cíclica (explicação didática):
  • Um ciclo lista um conjunto de elementos que se permutam entre si. Por exemplo, o ciclo (a\\ b\\ c) significa a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a.
  • Para decompor uma permutação, pego o menor elemento ainda não usado, sigo sua imagem, depois a imagem da imagem, e assim por diante, até voltar ao ponto inicial; isso forma um ciclo. Repito até cobrir todos os elementos.
  • Cada ciclo de tamanho k pode ser escrito como produto de k-1 transposições (isto será útil para a paridade).

Passo 3

Começo a formar ciclos a partir de 1. Usando a permutação dada:
1 \mapsto 8.
Agora sigo 8:
8 \mapsto 3.
Depois
3 \mapsto 10, \qquad 10 \mapsto 1,
e voltamos a 1. Portanto, obtemos o ciclo
(1\\\ 8\\\ 3\\\ 10).
Marquei os elementos 1,8,3,10 como usados.

Passo 4

Próximo menor elemento não usado é 2. Sigo as imagens:
2 \mapsto 6,\qquad 6 \mapsto 4,\qquad 4 \mapsto 9,\qquad 9 \mapsto 2.
Voltando a 2, o ciclo é
(2\\\ 6\\\ 4\\\ 9).
Agora 2,6,4,9 estão marcados como usados.

Passo 5

O próximo elemento não usado é 5. Sigo:
5 \mapsto 11,\qquad 11 \mapsto 7,\qquad 7 \mapsto 5.
Isso fecha um ciclo de comprimento 3:
(5\\\ 11\\\ 7).
Agora todos os elementos 1 a 11 estão cobertos pelos ciclos encontrados.

Passo 6

Reunindo os ciclos disjuntos obtidos, a decomposição cíclica da permutação é
(1\\\ 8\\\ 3\\\ 10)(2\\\ 6\\\ 4\\\ 9)(5\\\ 11\\\ 7).
Observação: ciclos disjuntos comutam, então a ordem entre esses três ciclos não importa.

Passo 7

Explicando a paridade (aula curta):
  • A paridade de uma permutação é “par” se ela pode ser escrita como produto de um número par de transposições (trocas de dois elementos), e “ímpar” se precisar de um número ímpar de transposições.
  • Um ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições. Uma forma padrão de escrever um k-ciclo (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) em transposições é
(a_1\\ a_k)(a_1\\ a_{k-1})\cdots(a_1\\ a_2),
que mostra que são k-1 transposições.
  • Portanto, a paridade de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}: se k-1 for par, o ciclo é par; se k-1 for ímpar, o ciclo é ímpar.

Passo 8

Aplico isso aos ciclos encontrados:
  • Para (1\\\ 8\\\ 3\\\ 10): comprimento 4, contribui com 4-1=3 transposições.
  • Para (2\\\ 6\\\ 4\\\ 9): comprimento 4, contribui com 4-1=3 transposições.
  • Para (5\\\ 11\\\ 7): comprimento 3, contribui com 3-1=2 transposições.
Somando o número total de transposições necessárias:
3 + 3 + 2 = 8.

Passo 9

Como 8 é um número par, a permutação é uma produto de um número par de transposições. Portanto, a permutação é par.

Resposta

(1\\\ 8\\\ 3\\\ 10)(2\\\ 6\\\ 4\\\ 9)(5\\\ 11\\\ 7)
paridade: par

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