Quantos divisores pares possui o numero
? E impares?
Passo 1
O enunciado dá o número
e pergunta duas coisas: (a) quantos divisores pares
tem; (b) quantos divisores ímpares
tem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fatoração prima de
é , e . - Um divisor de
tem a forma com , e .
Passo 2
Vou explicar uma fórmula útil: se
é a fatoração prima de
, então o número total de divisores positivos de
é
Por que isso funciona? Porque para cada primo
o expoente no divisor pode ser
— são
escolhas independentes — e multiplicam-se as escolhas para diferentes primos (princípio multiplicativo). Aplicando isso a
:
Portanto
tem
divisores positivos ao todo.
Passo 3
Agora conte os divisores ímpares. Um divisor é ímpar se e somente se não contém o fator
, ou seja, se o expoente de
é
. Nesse caso só restam as escolhas para
e
:
- para
: → escolhas; - para
: → escolhas.
Logo o número de divisores ímpares é
(Como verificação concreta, os divisores ímpares são
.)
Passo 4
Para contar os divisores pares podemos raciocinar de duas maneiras equivalentes.
Método A (direto): um divisor é par quando o expoente de
é
, ou seja, há
escolhas para
. Mantêm-se as mesmas escolhas para
e
(
e
escolhas). Logo
Método B (complemento): já sabemos que há
divisores no total e
ímpares, então pares
. Ambos dão o mesmo resultado.
Passo 5
Resumo rápido do raciocínio prático para a prova: escreva a fatoração prima, conte escolhas de expoentes para cada primo; para ímpares force o expoente de
igual a zero; para pares force o expoente de
maior ou igual a um. Isso resolve a maioria desses problemas com pouco cálculo. Força aí, você já tá quase lá!
Resposta
Número de divisores pares:
Número de divisores ímpares:
Número de divisores ímpares: