Quantos divisores pares possui o numero N=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 ? E impares?

Passo 1

O enunciado dá o número
N = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5
e pergunta duas coisas: (a) quantos divisores pares N tem; (b) quantos divisores ímpares N tem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fatoração prima de N é 2^{3}, 3^{2} e 5^{1}.
  • Um divisor de N tem a forma 2^{a}3^{b}5^{c} com a\in\{0,1,2,3\}, b\in\{0,1,2\} e c\in\{0,1\}.

Passo 2

Vou explicar uma fórmula útil: se
M=\prod_{i} p_i^{\alpha_i}
é a fatoração prima de M, então o número total de divisores positivos de M é
d(M)=\prod_{i}(\alpha_i+1).
Por que isso funciona? Porque para cada primo p_i o expoente no divisor pode ser 0,1,\dots,\alpha_i — são \alpha_i+1 escolhas independentes — e multiplicam-se as escolhas para diferentes primos (princípio multiplicativo). Aplicando isso a N:
d(N)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24.
Portanto N tem 24 divisores positivos ao todo.

Passo 3

Agora conte os divisores ímpares. Um divisor é ímpar se e somente se não contém o fator 2, ou seja, se o expoente de 2 é a=0. Nesse caso só restam as escolhas para 3 e 5:
  • para 3: b\in\{0,1,2\} 3 escolhas;
  • para 5: c\in\{0,1\} 2 escolhas.
    Logo o número de divisores ímpares é
1\cdot 3\cdot 2 = 6.
(Como verificação concreta, os divisores ímpares são \,1,\;3,\;3^{2},\;5,\;3\cdot5,\;3^{2}\cdot5\,.)

Passo 4

Para contar os divisores pares podemos raciocinar de duas maneiras equivalentes.
Método A (direto): um divisor é par quando o expoente de 2 é a\in\{1,2,3\}, ou seja, há 3 escolhas para a. Mantêm-se as mesmas escolhas para b e c ( 3 e 2 escolhas). Logo
\text{nº de divisores pares} = 3\cdot 3\cdot 2 = 18.º
Método B (complemento): já sabemos que há 24 divisores no total e 6 ímpares, então pares =24-6=18. Ambos dão o mesmo resultado.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio prático para a prova: escreva a fatoração prima, conte escolhas de expoentes para cada primo; para ímpares force o expoente de 2 igual a zero; para pares force o expoente de 2 maior ou igual a um. Isso resolve a maioria desses problemas com pouco cálculo. Força aí, você já tá quase lá!

Resposta

Número de divisores pares: 18
Número de divisores ímpares: 6

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