Quantos números de 4 algarismos podemos formar usando os dígitos 1,2,3,4,5,6,7, 8,9?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos números de 4 algarismos podemos formar usando os dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Informações relevantes dadas:
  • O conjunto de dígitos disponível é \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, ou seja, há 9 dígitos disponíveis.
  • Queremos formar números com exatamente 4 algarismos.
  • O enunciado não diz nada sobre proibir a repetição de dígitos.

Passo 2

Decisão sobre o método: quando o enunciado não especifica restrição de repetição, a interpretação comum (e a mais simples) é permitir repetição. Vou usar o Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto) — método básico e direto para este tipo de problema. Explicação do princípio: se um processo consiste em uma sequência de escolhas independentes e a primeira escolha pode ser feita de m_1 maneiras, a segunda de m_2 maneiras, e assim por diante até m_k, então o número total de sequências possíveis é
m_1\cdot m_2\cdots m_k.
Exemplo rápido e intuitivo: se tenho 3 camisas e 2 calças, combinando uma camisa com uma calça tenho 3\cdot2=6 conjuntos possíveis.

Passo 3

Aplicando o princípio ao problema (com repetição permitida): cada algarismo do número de 4 dígitos é escolhido entre os 9 dígitos disponíveis. As escolhas para cada posição são independentes e não há zero nem restrição de primeiro dígito, portanto:
  • primeiras posição: 9 possibilidades;
  • segunda posição: 9 possibilidades;
  • terceira posição: 9 possibilidades;
  • quarta posição: 9 possibilidades.
    Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total é
9\cdot9\cdot9\cdot9 = 9^4.

Passo 4

Calcular 9^4 sem calculadora, passo a passo:
9^2 = 9\cdot9 = 81.
Então
9^4 = (9^2)^2 = 81^2.
Calcule 81^2 usando expansão:
81^2 = (80+1)^2 = 80^2 + 2\cdot80\cdot1 + 1^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561.

Passo 5

Interpretação alternativa (só para aprendizado): se o enunciado exigisse que os dígitos não se repetissem, usaríamos permutações sem repetição. Nesse caso o número seria
9\cdot8\cdot7\cdot6 = 3024.
Mas, como o enunciado não proibiu repetição, a resposta adotada aqui é a com repetição permitida.

Resposta

6561

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