Quantos divisores possui o numero N=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 ?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos divisores possui o número N = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5.
Informações dadas:
  • A fatoração em primos está explícita: expoente de 2 é 3, expoente de 3 é 2 e expoente de 5 é 1 (pois 5=5^{1}).
  • A pergunta pede a quantidade de divisores positivos de N.

Passo 2

Fórmula e ideia principal (explicação didática):
Se um inteiro positivo tem fatoração em primos
N=\prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i},
então um divisor positivo de N é exatamente um número da forma
\prod_{i=1}^{k} p_i^{e_i}
onde cada expoente e_i é um inteiro com 0 \le e_i \le a_i.
Para cada primo p_i (a_i+1) escolhas possíveis de e_i (porque podem ser 0,1,2,\dots,a_i). Como as escolhas para cada primo são independentes, o número total de divisores é o produto das quantidades de escolhas:
\text{nº de divisores}=\prod_{i=1}^{k} (a_i+1).º
Exemplo pequeno para entender: para 2^{3} os divisores possíveis em relação a esse fator são 2^{0},2^{1},2^{2},2^{3} — ou seja, 3+1=4 escolhas.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso N: os expoentes são a_{2}=3, a_{3}=2 e a_{5}=1. Portanto as quantidades de escolhas são:
  • para 2: 3+1=4 escolhas ( 2^{0},2^{1},2^{2},2^{3});
  • para 3: 2+1=3 escolhas ( 3^{0},3^{1},3^{2});
  • para 5: 1+1=2 escolhas ( 5^{0},5^{1}).

Passo 4

Multiplicando as escolhas para obter o número total de divisores:
4\cdot 3\cdot 2 = 24.
Também podemos ver genericamente que todo divisor tem a forma 2^{i}3^{j}5^{k} com i\in\{0,1,2,3\}, j\in\{0,1,2\}, k\in\{0,1\}, e as combinações possíveis são 4\times3\times2=24.

Passo 5

Para ficar bem concreto, segue a lista dos 24 divisores (gerada pelas combinações acima):
1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;8,\;9,\;10,\;12,\;15,\;18,\;20,\;24,\;30,\;36,\;40,\;45,\;60,\;72,\;90,\;120,\;180,\;360.
Pronto — tem tudo que precisa para justificar e reproduzir o raciocínio na prova. Força aí, você vai mandar bem!

Resposta

24

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