Quantos divisores possui o numero
?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos divisores possui o número
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fatoração em primos está explícita: expoente de
é , expoente de é e expoente de é (pois ). - A pergunta pede a quantidade de divisores positivos de
.
Passo 2
Fórmula e ideia principal (explicação didática):
Se um inteiro positivo tem fatoração em primos
Se um inteiro positivo tem fatoração em primos
então um divisor positivo de
é exatamente um número da forma
onde cada expoente
é um inteiro com
.
Para cada primo há
escolhas possíveis de
(porque podem ser
). Como as escolhas para cada primo são independentes, o número total de divisores é o produto das quantidades de escolhas:
Para cada primo
Exemplo pequeno para entender: para
os divisores possíveis em relação a esse fator são
— ou seja,
escolhas.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso
: os expoentes são
,
e
. Portanto as quantidades de escolhas são:
- para
: escolhas ( ); - para
: escolhas ( ); - para
: escolhas ( ).
Passo 4
Multiplicando as escolhas para obter o número total de divisores:
Também podemos ver genericamente que todo divisor tem a forma
com
,
,
, e as combinações possíveis são
.
Passo 5
Para ficar bem concreto, segue a lista dos
divisores (gerada pelas combinações acima):
Pronto — tem tudo que precisa para justificar e reproduzir o raciocínio na prova. Força aí, você vai mandar bem!