Quantos interstícios octaédricos e tetraédricos existem na célula unitária nas estruturas cúbica de corpo centrado, cúbica de face centrada e hexagonal compacta?

Passo 1

O exercício pede pra contar quantos sítios intersticiais octaédricos e tetraédricos existem por cela unitária em três estruturas cristalinas: cúbica de corpo centrado (BCC), cúbica de face centrada (FCC) e hexagonal compacta (HCP). O conteúdo é Cristalografia – interstícios em redes cristalinas – e pra resolver vamos precisar saber onde ficam esses sítios (em vértices, faces, arestas etc.) e como contar considerando o compartilhamento entre células.

Passo 2

Antes de tudo, relaxa e lembra: um interstício é um “buraco” formado pelos átomos vizinhos onde pode caber um íon menor. Pra cada tipo (octaédrico ou tetraédrico) a gente identifica a posição geométrica e depois conta quantos desses pontos existem na célula, levando em conta que alguns são compartilhados com células vizinhas. A regra básica é: multiplica a quantidade de sítios na célula pela fração que cabe nela (por exemplo, um sítio na aresta é dividido por 4, na face por 2, etc.).

Passo 3

Estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) – sítios octaédricos
  1. Localização: centros das arestas (12 arestas) e centros de face (6 faces) formam arranjos octaédricos.
  2. Conta nas arestas: cada aresta dá um sítio, mas é dividido por 4 células ⇒ 12timestfrac14=3.
  3. Conta nas faces: cada face dá um sítio, mas é dividido por 2 células ⇒ 6timestfrac12=3.
    Total em BCC: 3+3=6 sítios octaédricos.

Passo 4

Estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) – sítios tetraédricos
  1. Localização: posições como (tfrac14,tfrac12,0) e simétricas formam tetraedros.
  2. Há 24 desses pontos por célula, mas cada um fica em aresta/face de 2 células ⇒ 24timestfrac12=12.
    Total em BCC: 12 sítios tetraédricos.

Passo 5

Estrutura cúbica de face centrada (FCC) – sítios octaédricos
  1. Localização: centros das arestas (12 arestas) e o centro da célula (1 sítio).
  2. Conta nas arestas: 12timestfrac14=3.
  3. Centro da célula: ponto interno, não é compartilhado ⇒ 1times1=1.
    Total em FCC: 3+1=4 sítios octaédricos.

Passo 6

Estrutura cúbica de face centrada (FCC) – sítios tetraédricos
  1. Localização: posições do tipo (tfrac14,tfrac14,tfrac14) e equivalentes (8 pontos por célula).
  2. Esses 8 pontos não são compartilhados ⇒ 8times1=8.
    Total em FCC: 8 sítios tetraédricos.

Passo 7

Estrutura hexagonal compacta (HCP) – sítios octaédricos
  1. Pra HCP (6 átomos por cela), existem 6 sítios octaédricos identificados entre camadas.
  2. Cada um desses é “próprio” da célula (já considerando compartilhamento embutido).
    Total em HCP: 6 sítios octaédricos.

Passo 8

Estrutura hexagonal compacta (HCP) – sítios tetraédricos
  1. Na HCP há 12 posições tetraédricas por célula, espalhadas entre os vértices de tetraedros formados pelas camadas.
  2. Elas também já vêm com o compartilhamento correto embutido.
    Total em HCP: 12 sítios tetraédricos.

Resposta

BCC: 6 octaédricos e 12 tetraédricos
FCC: 4 octaédricos e 8 tetraédricos
HCP: 6 octaédricos e 12 tetraédricos

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