Quantos mililitros de \mathrm{NaOH} 0,500 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} devem ser adicionados a 10 g de tris cloridrato ( \mathrm{BH}^{+}), ( \mathrm{MM}=157,597 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) para se alcançar um pH de 7,60 \mathrm{em} um volume final de 250 mL ? pka do tris cloridrato =8,075. Resp.: 31,8 \mathrm{~mL}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar quantos mililitros de \mathrm{NaOH} 0{,}500\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} devem ser adicionados a 10\\ \mathrm{g} de tris cloridrato ( \mathrm{BH}^+) para obter pH igual a 7{,}60 no volume final de 250\\ \mathrm{mL}.
Dados fornecidos (resumidos):
\begin{aligned} \text{massa de } \mathrm{BH}^+ &= 10\\ \mathrm{g},\\\ \text{massa molar (MM) de } \mathrm{BH}^+ &= 157{,}597\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol},\\\ \mathrm{[NaOH]} &= 0{,}500\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},\\\ \text{pH desejado} &= 7{,}60,\\\ \text{p}K_a(\mathrm{BH}^+) &= 8{,}075,\\\ \text{volume final} &= 250\\ \mathrm{mL}. \end{aligned}
Incógnita: volume de \mathrm{NaOH} (em \mathrm{mL}) a ser adicionado.

Passo 2

Transformar a massa de \mathrm{BH}^+ em número de mols (definição de mol: \text{mols}=\dfrac{\text{massa}}{\text{massa molar}}):
n_0=\frac{10}{157{,}597}\\ \mathrm{mol}.
Fazendo a conta:
n_0\approx 0{,}063433\\ \mathrm{mol}.
Explicação rápida: n_0 é a quantidade inicial de íons \mathrm{BH}^+ presentes antes de adicionar a base.

Passo 3

Reação entre \mathrm{BH}^+ e \mathrm{OH}^- (estequiometria 1:1):
\mathrm{BH}^+ + \mathrm{OH}^- \longrightarrow \mathrm{B} + \mathrm{H_2O}.
Se x for o número de mols de \mathrm{NaOH} adicionados, então:
\begin{aligned} n_{\mathrm{B}} &= x,\\\ n_{\mathrm{BH}^+} &= n_0 - x. \end{aligned}
Explicação: cada mol de \mathrm{OH}^- consome um mol de \mathrm{BH}^+ formando um mol de \mathrm{B}.

Passo 4

Usamos a equação de Henderson–Hasselbalch para o par conjugado \mathrm{B}/\mathrm{BH}^+:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log\!\left(\frac{[\mathrm{B}]}{[\mathrm{BH}^+]}\right).
Aqui [\mathrm{B}] e [\mathrm{BH}^+] são concentrações no equilíbrio; como o volume final é fixo e igual para ambos, a razão de concentrações é a razão de mols:
\frac{[\mathrm{B}]}{[\mathrm{BH}^+]}=\frac{n_{\mathrm{B}}}{n_{\mathrm{BH}^+}}=\frac{x}{n_0-x}.
Logo:
10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}=\frac{x}{n_0-x}.
Definimos r=10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a} para facilitar.

Passo 5

Isolando x na equação \dfrac{x}{n_0-x}=r:
x = r(n_0-x)\quad\Rightarrow\quad x(1+r)=r\,n_0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{r\,n_0}{1+r}.
Alternativa útil (mesma fórmula rearranjada):
x=\frac{n_0}{1+10^{\mathrm{p}K_a-\mathrm{pH}}}.
Agora calculamos r:
r=10^{7{,}60-8{,}075}=10^{-0{,}475}\approx 0{,}33497.

Passo 6

Calcular x numericamente usando n_0 e r:
x=\frac{0{,}33497\cdot 0{,}063433}{1+0{,}33497}\approx 0{,}015883\\ \mathrm{mol}.
Interpretação: precisamos de 0{,}015883\\ \mathrm{mol} de \mathrm{OH}^-.

Passo 7

Converter moles de \mathrm{OH}^- em volume de \mathrm{NaOH} 0{,}500\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}:
V(\mathrm{L})=\frac{x}{0{,}500}\quad\Rightarrow\quad V(\mathrm{mL})=\frac{x}{0{,}500}\times 1000.
Substituindo x:
V(\mathrm{mL})=\frac{0{,}015883}{0{,}500}\times 1000\approx 31{,}766\\ \mathrm{mL}.
Arredondando de forma coerente (duas casas significativas nos dados do enunciado), obtemos 31{,}8\\ \mathrm{mL}.

Resposta

31{,}8\\ \mathrm{mL}

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