De quantos modos 7 crianças, entre elas João e Maria, podem brincar de roda, ficando João sempre ao lado de Maria?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantos modos
crianças, entre elas João e Maria, podem brincar de roda, ficando João sempre ao lado de Maria?”.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há exatamente
crianças distintas. - Duas delas são João e Maria.
- A condição é: João deve estar sempre ao lado de Maria (adjacentes).
O que se quer: o número de arranjos circulares distintos (brincar de roda) que satisfazem essa condição.
Passo 2
Entender o que significa “arranjo em roda” (circular): quando pessoas se posicionam em círculo, rotações puras são consideradas a mesma disposição. Explicando com calma:
- Se todos girarem juntos uma posição, não contamos isso como um arranjo novo.
Um modo padrão de contar arranjos circulares é: parapessoas distintas, o número de arranjos distintos é .
Breve justificativa didática dessa fórmula: imagine fixar uma pessoa quaisquer numa posição como referência; aí restamlugares em ordem ao redor do círculo, e as demais pessoas podem ser permutadas nesses lugares de todas as maneiras possíveis, que é . Fixar uma pessoa elimina a contagem repetida por rotações.
Passo 3
Aplicar a ideia do “bloco” para a condição de adjacência: quando pedem que duas pessoas fiquem sempre juntas, uma técnica muito prática é tratá-las temporariamente como um único elemento (um “bloco”). Aqui:
- Vamos considerar João e Maria como um único bloco unido.
- Além desse bloco, há as outras
crianças individuais, totalizando “elementos” a serem arranjados em círculo.
Passo 4
Contar os arranjos circulares desses
elementos: como explicado, para
elementos distintos dispostos em círculo o número de arranjos é
. Escrevendo:
Agora calculemos
:
Esse
conta todas as formas de dispor o bloco (João+Maria) e as outras
crianças ao redor, considerando rotações equivalentes.
Passo 5
Levar em conta as ordens internas do bloco: dentro do bloco João e Maria podem aparecer em duas ordens distintas, porque “João ao lado de Maria” permite João à direita de Maria ou João à esquerda de Maria. Essas duas situações são diferentes como disposições das pessoas. Portanto, para cada arranjo dos
elementos há
arranjos internos do bloco. Assim multiplicamos por
.
Passo 6
Multiplicar as duas contagens para obter o total final:
Sem calculadora:
vezes
é
. Fácil.
Passo 7
Checagem rápida por raciocínio alternativo (confirmação intuitiva): o número total de arranjos sem restrição seria
. Se a probabilidade aproximada de João e Maria estarem juntos for calculada, para grandes
essa probabilidade é
(não preciso formalizar aqui), mas multiplicando
por
dá
— isso está coerente com o resultado obtido pelo método do bloco. (Só uma verificação mental para ficar seguro.)
Observação sobre simetrias que alguns confundem: não estamos identificando reflexões (trocar sentido horário por anti-horário) como iguais; estamos apenas identificando rotações como equivalentes, que é o padrão em problemas de “rodas” ou “mesas redondas” quando não se diz o contrário. Se o problema considerasse reflexões equivalentes também, o cálculo mudaria — mas aqui assumimos o caso usual (rotações equivalentes, reflexões distintas).
Observação sobre simetrias que alguns confundem: não estamos identificando reflexões (trocar sentido horário por anti-horário) como iguais; estamos apenas identificando rotações como equivalentes, que é o padrão em problemas de “rodas” ou “mesas redondas” quando não se diz o contrário. Se o problema considerasse reflexões equivalentes também, o cálculo mudaria — mas aqui assumimos o caso usual (rotações equivalentes, reflexões distintas).