De quantos modos 7 crianças, entre elas João e Maria, podem brincar de roda, ficando João sempre ao lado de Maria?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantos modos 7 crianças, entre elas João e Maria, podem brincar de roda, ficando João sempre ao lado de Maria?”.
Informações dadas:
  • Há exatamente 7 crianças distintas.
  • Duas delas são João e Maria.
  • A condição é: João deve estar sempre ao lado de Maria (adjacentes).
    O que se quer: o número de arranjos circulares distintos (brincar de roda) que satisfazem essa condição.

Passo 2

Entender o que significa “arranjo em roda” (circular): quando pessoas se posicionam em círculo, rotações puras são consideradas a mesma disposição. Explicando com calma:
  • Se todos girarem juntos uma posição, não contamos isso como um arranjo novo.
    Um modo padrão de contar arranjos circulares é: para n pessoas distintas, o número de arranjos distintos é (n-1)!.
    Breve justificativa didática dessa fórmula: imagine fixar uma pessoa quaisquer numa posição como referência; aí restam n-1 lugares em ordem ao redor do círculo, e as demais n-1 pessoas podem ser permutadas nesses lugares de todas as maneiras possíveis, que é (n-1)!. Fixar uma pessoa elimina a contagem repetida por rotações.

Passo 3

Aplicar a ideia do “bloco” para a condição de adjacência: quando pedem que duas pessoas fiquem sempre juntas, uma técnica muito prática é tratá-las temporariamente como um único elemento (um “bloco”). Aqui:
  • Vamos considerar João e Maria como um único bloco unido.
  • Além desse bloco, há as outras 5 crianças individuais, totalizando 6 “elementos” a serem arranjados em círculo.

Passo 4

Contar os arranjos circulares desses 6 elementos: como explicado, para 6 elementos distintos dispostos em círculo o número de arranjos é (6-1)!. Escrevendo:
(6-1)! = 5!.
Agora calculemos 5!:
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.
Esse 120 conta todas as formas de dispor o bloco (João+Maria) e as outras 5 crianças ao redor, considerando rotações equivalentes.

Passo 5

Levar em conta as ordens internas do bloco: dentro do bloco João e Maria podem aparecer em duas ordens distintas, porque “João ao lado de Maria” permite João à direita de Maria ou João à esquerda de Maria. Essas duas situações são diferentes como disposições das pessoas. Portanto, para cada arranjo dos 6 elementos há 2 arranjos internos do bloco. Assim multiplicamos por 2.

Passo 6

Multiplicar as duas contagens para obter o total final:
\text{total} = 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240.
Sem calculadora: 120 vezes 2 é 240. Fácil.

Passo 7

Checagem rápida por raciocínio alternativo (confirmação intuitiva): o número total de arranjos sem restrição seria (7-1)! = 6! = 720. Se a probabilidade aproximada de João e Maria estarem juntos for calculada, para grandes n essa probabilidade é \dfrac{2}{7}\cdot (não preciso formalizar aqui), mas multiplicando 720 por \dfrac{1}{3} 240 — isso está coerente com o resultado obtido pelo método do bloco. (Só uma verificação mental para ficar seguro.)
Observação sobre simetrias que alguns confundem: não estamos identificando reflexões (trocar sentido horário por anti-horário) como iguais; estamos apenas identificando rotações como equivalentes, que é o padrão em problemas de “rodas” ou “mesas redondas” quando não se diz o contrário. Se o problema considerasse reflexões equivalentes também, o cálculo mudaria — mas aqui assumimos o caso usual (rotações equivalentes, reflexões distintas).

Resposta

\,240\,

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