Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{1}{2 \alpha} e{\alpha{2}-x{2}}\left(\alpha{2}-x^{2}\right), para x \in[-\alpha, \alpha].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x):=\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha^{2}-x^{2}}\bigl(\alpha^{2}-x^{2}\bigr), \qquad x\in[-\alpha,\alpha],
e pede que verifiquemos se isso é uma função de densidade de probabilidade (assumir que f(x)=0 fora desse intervalo). Se for densidade, calcular a esperança e a variância, justificando os cálculos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida em todo o real como nula fora de [- \alpha,\alpha].
  • O parâmetro \alpha aparece no domínio e na fórmula; devemos considerar \alpha>0 (se \alpha\le 0 o domínio degenera).
  • O que é exigido:
    1. Verificar não-negatividade de f no intervalo.
    2. Verificar normalização \displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\,dx = 1 — isto pode impor restrição sobre \alpha.
    3. Se houver valores de \alpha que tornam f uma densidade, calcular \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X) para esses \alpha.

Passo 2

Verificação da não-negatividade de f.
  • O fator \dfrac{1}{2\alpha} é positivo se assumirmos \alpha>0.
  • O fator e^{\alpha^{2}-x^{2}} é sempre positivo para todo x.
  • No intervalo x\in[-\alpha,\alpha] vale \alpha^{2}-x^{2}\ge 0.
    Portanto, para \alpha>0 temos f(x)\ge 0 em [- \alpha,\alpha]. Logo a condição de não-negatividade está satisfeita (para \alpha>0).

Passo 3

Cálculo da integral de normalização \displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\,dx.
Começo escrevendo a integral usando a forma dada:
\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\,dx = \frac{1}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} e^{\alpha^{2}-x^{2}}(\alpha^{2}-x^{2})\,dx = \frac{e^{\alpha^{2}}}{2\alpha}\int_{-\alpha}^{\alpha} e^{-x^{2}}(\alpha^{2}-x^{2})\,dx.
Defino
S:=\int_{-\alpha}^{\alpha} e^{-x^{2}}\,dx \quad\text{(nota: }S=\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha)\text{)}.
Preciso avaliar
J:=\int_{-\alpha}^{\alpha} e^{-x^{2}}(\alpha^{2}-x^{2})\,dx = \alpha^{2}S - \int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx.
Agora calculo \displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx. Como a função é par:
\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx = 2\int_{0}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx.
Faço integração por partes em \int_{0}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx. Tomando u=x e dv= x e^{-x^{2}}dx (ou usando a identidade d(e^{-x^{2}})/dx = -2x e^{-x^{2}}), obtém-se
\int_{0}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx = -\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha^{2}} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\alpha} e^{-x^{2}}\,dx.
Multiplicando por 2:
\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx = -\alpha e^{-\alpha^{2}} + \frac{1}{2}S.
Substituindo em J:
J = \alpha^{2}S -\Bigl(-\alpha e^{-\alpha^{2}} + \frac{1}{2}S\Bigr) = \Bigl(\alpha^{2}-\frac{1}{2}\Bigr)S + \alpha e^{-\alpha^{2}}.
Portanto a integral de normalização vale
\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\,dx = \frac{e^{\alpha^{2}}}{2\alpha}\,J = \frac{1}{2} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}{2\alpha}\,e^{\alpha^{2}}S,
isto é
\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}{2\alpha}\,e^{\alpha^{2}}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha).

Passo 4

Condição para f ser densidade: a integral deve ser 1. Assim temos a equação para \alpha>0:
\frac{1}{2} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}{2\alpha}\,e^{\alpha^{2}}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha) = 1.
Rearranjando:
\frac{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}{2\alpha}\,e^{\alpha^{2}}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha) = \frac{1}{2},
ou ainda
e^{\alpha^{2}}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha)\,(\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}) = \alpha.
Comentários sobre essa equação:
  • A igualdade não é uma identidade verdadeira para todo \alpha; ela impõe uma restrição numérica sobre \alpha.
  • Ao estudar os limites, para \alpha\to 0^{+} tem-se \operatorname{erf}(\alpha)\sim \tfrac{2}{\sqrt{\pi}}\alpha, daí a integral tende a 0. Para \alpha\to\infty o termo e^{\alpha^{2}}\operatorname{erf}(\alpha) cresce muito, logo o lado esquerdo tende a +\infty. Assim, pela continuidade, existe pelo menos um \alpha>0 que resolve a equação.
  • Uma busca numérica (método da bisecção ou similar) dá a solução positiva aproximadamente
\alpha \approx 0{,}887\quad(\text{aprox. }3\text{ casas decimais}).
Portanto: a função f é uma densidade de probabilidade somente se \alpha for esse valor específico positivo (único) que satisfaz a equação acima; para outros valores de \alpha a integral não é igual a 1.

Passo 5

Cálculo da esperança \mathbb{E}[X] no caso em que f é densidade (ou seja, para o \alpha que normaliza f).
Observação importante: a função f(x) é uma função par de x (depende apenas de x^{2}) e o intervalo é simétrico [- \alpha,\alpha]. Sempre que a densidade é par em um intervalo simétrico, a esperança é zero por simetria. Formalmente,
\mathbb{E}[X] = \int_{-\alpha}^{\alpha} x f(x)\,dx = 0,
pois x f(x) é função ímpar e sua integral em intervalo simétrico é zero.

Passo 6

Cálculo da variância. Como \mathbb{E}[X]=0, temos \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]. Calculo \mathbb{E}[X^{2}] (para o \alpha que normaliza):
Começo por escrever
\mathbb{E}[X^{2}] = \int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2} f(x)\,dx = \frac{e^{\alpha^{2}}}{2\alpha}\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}(\alpha^{2}-x^{2})\,dx.
Denoto
M:=\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}(\alpha^{2}-x^{2})\,dx = \alpha^{2}\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx - \int_{-\alpha}^{\alpha} x^{4}e^{-x^{2}}\,dx.
Já conhecemos \displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{2}e^{-x^{2}}\,dx = -\alpha e^{-\alpha^{2}} + \tfrac{1}{2}S.
Calculamos agora \displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{4}e^{-x^{2}}\,dx. Usando uma relação de recorrência (ou integração por partes duas vezes) encontra-se
\int_{-\alpha}^{\alpha} x^{4}e^{-x^{2}}\,dx = -e^{-\alpha^{2}}\Bigl(\alpha^{3}+\tfrac{3}{2}\alpha\Bigr) + \tfrac{3}{4}S.
Substituindo em M:
M = \alpha^{2}\Bigl(-\alpha e^{-\alpha^{2}} + \tfrac{1}{2}S\Bigr) - \Bigl( -e^{-\alpha^{2}}\bigl(\alpha^{3}+\tfrac{3}{2}\alpha\bigr) + \tfrac{3}{4}S\Bigr).
Agrupando termos obtemos (fazendo as contas passo a passo)
M = \frac{3}{2}\alpha e^{-\alpha^{2}} + \Bigl(\frac{\alpha^{2}}{2}-\frac{3}{4}\Bigr)S.
Logo
\mathbb{E}[X^{2}] = \frac{e^{\alpha^{2}}}{2\alpha}\,M = \frac{1}{2\alpha}\Bigl(\frac{3}{2}\alpha + e^{\alpha^{2}}\Bigl(\frac{\alpha^{2}}{2}-\frac{3}{4}\Bigr)S\Bigr) = \frac{3}{4} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{3}{2}}{4\alpha}\,e^{\alpha^{2}}S.
Agora uso a condição de normalização (obtida no Passo 4)
\frac{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}{2\alpha}\,e^{\alpha^{2}}S = \frac{1}{2},
que implica
e^{\alpha^{2}}S = \frac{\alpha}{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}}.
Substituo essa expressão em \mathbb{E}[X^{2}] para eliminar e^{\alpha^{2}}S. Fazendo a substituição e simplificando (mostro os passos algébricos):
\mathbb{E}[X^{2}] = \frac{3}{4} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{3}{2}}{4\alpha}\cdot\frac{\alpha}{\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}} = \frac{3}{4} + \frac{\alpha^{2}-\tfrac{3}{2}}{4\bigl(\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)}.
Colocando em denominador comum:
\mathbb{E}[X^{2}] = \frac{4\alpha^{2}-3}{4\alpha^{2}-2}.
Portanto, quando f é densidade (isto é, para o valor de \alpha>0 que normaliza f), obtém-se
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}] = \frac{4\alpha^{2}-3}{4\alpha^{2}-2}.
Se agora substituirmos numericamente o valor \alpha\approx 0{,}887 que normaliza f, obtemos
\mathrm{Var}(X)\approx 0{,}13\quad(\text{aprox. }2\text{ casas decimais}).

Resposta

A função é não-negativa para \alpha>0, mas é densidade de probabilidade apenas para \alpha>0 que satisfaz
e^{\alpha^{2}}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(\alpha)\bigl(\alpha^{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)=\alpha.
O único \alpha>0 que resolve isto é aproximadamente \alpha\approx 0{,}887.
Para esse \alpha:
\mathbb{E}[X]=0
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{4\alpha^{2}-3}{4\alpha^{2}-2}\approx 0{,}13.

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