Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{1}{2 \alpha} e{\alpha{2}-x{2}}\left(\alpha{2}-x^{2}\right), para x \in[-\alpha, \alpha].
f(x):=\frac{1}{2 \alpha} e{\alpha{2}-x{2}}\left(\alpha{2}-x^{2}\right), para x \in[-\alpha, \alpha].
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que verifiquemos se isso é uma função de densidade de probabilidade (assumir que
fora desse intervalo). Se for densidade, calcular a esperança e a variância, justificando os cálculos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida em todo o real como nula fora de
. - O parâmetro
aparece no domínio e na fórmula; devemos considerar (se o domínio degenera). - O que é exigido:
- Verificar não-negatividade de
no intervalo. - Verificar normalização
— isto pode impor restrição sobre . - Se houver valores de
que tornam uma densidade, calcular e para esses .
- Verificar não-negatividade de
Passo 2
Verificação da não-negatividade de
.
- O fator
é positivo se assumirmos . - O fator
é sempre positivo para todo . - No intervalo
vale .
Portanto, paratemos em . Logo a condição de não-negatividade está satisfeita (para ).
Passo 3
Cálculo da integral de normalização
.
Começo escrevendo a integral usando a forma dada:
Defino
Preciso avaliar
Agora calculo
. Como a função é par:
Faço integração por partes em
. Tomando
e
(ou usando a identidade
), obtém-se
Multiplicando por 2:
Substituindo em
:
Portanto a integral de normalização vale
isto é
Passo 4
Condição para
ser densidade: a integral deve ser
. Assim temos a equação para
:
Rearranjando:
ou ainda
Comentários sobre essa equação:
- A igualdade não é uma identidade verdadeira para todo
; ela impõe uma restrição numérica sobre . - Ao estudar os limites, para
tem-se , daí a integral tende a . Para o termo cresce muito, logo o lado esquerdo tende a . Assim, pela continuidade, existe pelo menos um que resolve a equação. - Uma busca numérica (método da bisecção ou similar) dá a solução positiva aproximadamente
Portanto: a função
é uma densidade de probabilidade somente se
for esse valor específico positivo (único) que satisfaz a equação acima; para outros valores de
a integral não é igual a
.
Passo 5
Cálculo da esperança
no caso em que
é densidade (ou seja, para o
que normaliza
).
Observação importante: a função
é uma função par de
(depende apenas de
) e o intervalo é simétrico
. Sempre que a densidade é par em um intervalo simétrico, a esperança é zero por simetria. Formalmente,
pois
é função ímpar e sua integral em intervalo simétrico é zero.
Passo 6
Cálculo da variância. Como
, temos
. Calculo
(para o
que normaliza):
Começo por escrever
Denoto
Já conhecemos
.
Calculamos agora
. Usando uma relação de recorrência (ou integração por partes duas vezes) encontra-se
Substituindo em
:
Agrupando termos obtemos (fazendo as contas passo a passo)
Logo
Agora uso a condição de normalização (obtida no Passo 4)
que implica
Substituo essa expressão em
para eliminar
. Fazendo a substituição e simplificando (mostro os passos algébricos):
Colocando em denominador comum:
Portanto, quando
é densidade (isto é, para o valor de
que normaliza
), obtém-se
Se agora substituirmos numericamente o valor
que normaliza
, obtemos
Resposta
A função é não-negativa para
, mas é densidade de probabilidade apenas para
que satisfaz
O único
que resolve isto é aproximadamente
.
Para esse :
.
Para esse