Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\lambda e^{-\lambda x}, para x \in[0,+\infty) e \lambda>0.
f(x):=\lambda e^{-\lambda x}, para x \in[0,+\infty) e \lambda>0.
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que
fora desse intervalo. As perguntas são:
- Verificar se
é uma função de densidade de probabilidade (isto é, se é não-negativa e integra 1 em quando considerada nula fora de ). - Para o caso em que for densidade, calcular a esperança
e a variância , justificando os cálculos.
Informações relevantes fornecidas:
- Para todo
temos . - Parâmetro
. - Fora de
, .
Passo 2
Verificação das duas propriedades básicas de uma densidade: não negatividade e normalização.
- Não negatividade: para todo
e ,
porque
e
. Portanto
no suporte indicado.
- Normalização: calcular a integral total
Vamos avaliar essa integral. Uma primitiva de
é
. Assim,
Agora avaliamos os limites:
(a exponencial decai para zero) e
. Portanto
Conclusão:
é não negativa e integra 1, logo é uma função de densidade de probabilidade válida (para qualquer
).
Passo 3
Cálculo da esperança
. Definição:
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
onde
e
são funções diferenciáveis escolhidas convenientemente. Aqui escolhemos
Então
Aplicando:
Avaliação do termo de fronteira:
(a exponencial vence o crescimento linear; pode-se ver prestando atenção que
por L’Hôpital), e em
o termo é
. Assim o termo de fronteira é
. Resta a integral simples:
Portanto
Passo 4
Cálculo de
(passo intermediário necessário para a variância). Definição:
Novamente usamos integração por partes, escolhendo
Então
Aplicando a fórmula:
O termo de fronteira
(exponencial domina polinômio), em
dá
. Assim o primeiro termo é zero, e sobra
Observação: já calculamos antes uma integral muito próxima ao computar
. Note que
então
porque
. Portanto
Passo 5
Cálculo da variância usando a identidade
Substituindo os valores obtidos: