Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\lambda e^{-\lambda x}, para x \in[0,+\infty) e \lambda>0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x):=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\in[0,+\infty),\quad \lambda>0,
e diz que f(x)=0 fora desse intervalo. As perguntas são:
  • Verificar se f é uma função de densidade de probabilidade (isto é, se é não-negativa e integra 1 em (-\infty,\infty) quando considerada nula fora de [0,\infty)).
  • Para o caso em que for densidade, calcular a esperança E[X] e a variância \operatorname{Var}(X), justificando os cálculos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo x\in[0,\infty) temos f(x)=\lambda e^{-\lambda x}.
  • Parâmetro \lambda>0.
  • Fora de [0,\infty), f(x)=0.

Passo 2

Verificação das duas propriedades básicas de uma densidade: não negatividade e normalização.
  1. Não negatividade: para todo x\in[0,\infty) e \lambda>0,
\lambda e^{-\lambda x}\ge 0
porque \lambda>0 e e^{-\lambda x}>0. Portanto f(x)\ge0 no suporte indicado.
  1. Normalização: calcular a integral total
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Vamos avaliar essa integral. Uma primitiva de e^{-\lambda x} é -\tfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}. Assim,
\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}.
Agora avaliamos os limites: \lim_{x\to\infty} e^{-\lambda x}=0 (a exponencial decai para zero) e e^{-\lambda\cdot 0}=1. Portanto
\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = -(0-1)=1.
Conclusão: f é não negativa e integra 1, logo é uma função de densidade de probabilidade válida (para qualquer \lambda>0).

Passo 3

Cálculo da esperança E[X]. Definição:
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx=\int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções diferenciáveis escolhidas convenientemente. Aqui escolhemos
u = x,\qquad dv = \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \lambda e^{-\lambda x}\,dx = -e^{-\lambda x}.
Aplicando:
\int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \big[-x e^{-\lambda x}\big]_{0}^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx.
Avaliação do termo de fronteira: \lim_{x\to\infty} x e^{-\lambda x}=0 (a exponencial vence o crescimento linear; pode-se ver prestando atenção que x/e^{\lambda x}\to0 por L’Hôpital), e em x=0 o termo é 0. Assim o termo de fronteira é 0-0=0. Resta a integral simples:
\int_0^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Portanto
E[X]=\frac{1}{\lambda}.

Passo 4

Cálculo de E[X^2] (passo intermediário necessário para a variância). Definição:
E[X^2]=\int_0^{\infty} x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Novamente usamos integração por partes, escolhendo
u=x^2,\qquad dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Então
du=2x\,dx,\qquad v=-e^{-\lambda x}.
Aplicando a fórmula:
\int_0^{\infty} x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \big[-x^2 e^{-\lambda x}\big]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} 2x e^{-\lambda x}\,dx.
O termo de fronteira \lim_{x\to\infty} x^2 e^{-\lambda x}=0 (exponencial domina polinômio), em x=0 0. Assim o primeiro termo é zero, e sobra
E[X^2]=2\int_0^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx.
Observação: já calculamos antes uma integral muito próxima ao computar E[X]. Note que
E[X]=\int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\frac{1}{\lambda},
então
\int_0^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda}\cdot\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda^2},
porque E[X]=\lambda\cdot\int_0^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx. Portanto
E[X^2]=2\cdot\frac{1}{\lambda^2}=\frac{2}{\lambda^2}.

Passo 5

Cálculo da variância usando a identidade
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\big(E[X]\big)^2.
Substituindo os valores obtidos:
\operatorname{Var}(X)=\frac{2}{\lambda^2}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 =\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}.

Resposta

E[X]=\dfrac{1}{\lambda}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}

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