(a) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes diferentes em um mercado que vende 5 tipos de refrigerantes?
(b) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes em um mercado que vende 5 tipos de refrigerantes?
(b) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes em um mercado que vende 5 tipos de refrigerantes?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
- Dados: o mercado vende
tipos de refrigerante (chamemos esses tipos de ). - Perguntas:
- (a) De quantos modos se pode comprar
refrigerantes diferentes? (ou seja, as três unidades devem ser de tipos distintos — sem repetições). - (b) De quantos modos se pode comprar
refrigerantes (agora repetições são permitidas — pode-se comprar dois iguais, três iguais, etc.)?
- (a) De quantos modos se pode comprar
Passo 2
Entendendo o caso (a): quando pedem escolhas “diferentes” e a ordem da compra não importa (comprar
é a mesma coisa que comprar
), estamos diante de uma combinação simples: escolher
elementos de um conjunto de
sem ordem e sem repetição.
- Fórmula de combinação sem repetição:
. - Aqui
(fatorial) significa . -
é o número total de tipos disponíveis. -
é quantos queremos escolher.
- Aqui
- Aplicando ao nosso problema:
e .
Passo 3
Cálculo direto para (a):
Então existem
maneiras de comprar
refrigerantes todos diferentes.
(Comentário rápido de verificação: outra forma de ver é contar ordens:
maneiras ordenadas e dividir por
porque a ordem não importa,
.)
Passo 4
Passando para o caso (b): agora repetições são permitidas. Precisamos contar seleções de
unidades entre
tipos, com ordem irrelevante e com repetição. Esse é um problema clássico de “combinação com repetição”.
- Modelo equivalente: contar soluções inteiras não-negativas de
onde é o número de refrigerantes do tipo comprados (cada ).
Passo 5
Teorema (Stars and Bars / “bolinhas e divisores”):
- O número de soluções inteiras não-negativas da equação acima (ou seja, o número de combinações com repetição) é
onde é o número de tipos ( ) e é a quantidade a escolher ( ). - Interpretação prática: colocar
estrelas (itens) e barras (separadores) em sequência; escolher as posições das estrelas entre as posições.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso (b):
- Aqui
e , então - Calcule
:
Portanto há
maneiras de comprar
refrigerantes quando repetições são permitidas.
Passo 7
Pequena checagem intuitiva (exemplo auxiliar): se houvesse
tipos e quisesse
, a fórmula dá
. As possibilidades seriam
— faz sentido. Isso ajuda a confiar na fórmula usada.
Resposta
(a)
(b)
(b)