(a) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes diferentes em um mercado que vende 5 tipos de refrigerantes?
(b) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes em um mercado que vende 5 tipos de refrigerantes?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
  • Dados: o mercado vende 5 tipos de refrigerante (chamemos esses tipos de A,B,C,D,E).
  • Perguntas:
    • (a) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes diferentes? (ou seja, as três unidades devem ser de tipos distintos — sem repetições).
    • (b) De quantos modos se pode comprar 3 refrigerantes (agora repetições são permitidas — pode-se comprar dois iguais, três iguais, etc.)?

Passo 2

Entendendo o caso (a): quando pedem escolhas “diferentes” e a ordem da compra não importa (comprar A,B,C é a mesma coisa que comprar C,B,A), estamos diante de uma combinação simples: escolher k elementos de um conjunto de n sem ordem e sem repetição.
  • Fórmula de combinação sem repetição: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
    • Aqui n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
    • n é o número total de tipos disponíveis.
    • k é quantos queremos escolher.
  • Aplicando ao nosso problema: n=5 e k=3.

Passo 3

Cálculo direto para (a):
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(2\cdot1)}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Então existem 10 maneiras de comprar 3 refrigerantes todos diferentes.
(Comentário rápido de verificação: outra forma de ver é contar ordens: 5\cdot4\cdot3=60 maneiras ordenadas e dividir por 3! porque a ordem não importa, 60/6=10.)

Passo 4

Passando para o caso (b): agora repetições são permitidas. Precisamos contar seleções de 3 unidades entre 5 tipos, com ordem irrelevante e com repetição. Esse é um problema clássico de “combinação com repetição”.
  • Modelo equivalente: contar soluções inteiras não-negativas de x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=3,onde x_i é o número de refrigerantes do tipo i comprados (cada x_i\ge 0).

Passo 5

Teorema (Stars and Bars / “bolinhas e divisores”):
  • O número de soluções inteiras não-negativas da equação acima (ou seja, o número de combinações com repetição) é \binom{n+k-1}{k},onde n é o número de tipos ( 5) e k é a quantidade a escolher ( 3).
  • Interpretação prática: colocar k estrelas (itens) e n-1 barras (separadores) em sequência; escolher as posições das estrelas entre as n+k-1 posições.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso (b):
  • Aqui n=5 e k=3, então \binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}.
  • Calcule \binom{7}{3}: \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
Portanto há 35 maneiras de comprar 3 refrigerantes quando repetições são permitidas.

Passo 7

Pequena checagem intuitiva (exemplo auxiliar): se houvesse n=2 tipos e quisesse k=3, a fórmula dá \binom{2+3-1}{3}=\binom{4}{3}=4. As possibilidades seriam (3,0),(2,1),(1,2),(0,3) — faz sentido. Isso ajuda a confiar na fórmula usada.

Resposta

(a) 10
(b) 35

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