Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm o mesmo número de caras e de coroas?

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda é jogada 10 vezes e cada jogada dá cara ou coroa. A pergunta é: quantos resultados (sequências das 10 jogadas) contêm o mesmo número de caras e de coroas?
Informações relevantes:
  • 10 lançamentos.
  • Cada lançamento tem duas possíveis faces: cara ou coroa.
  • “Mesmo número de caras e de coroas” significa que o número de caras é igual ao número de coroas numa sequência de 10 lançamentos.
  • Como 10 é par, isso significa exatamente 5 caras e 5 coroas em cada sequência que queremos contar.

Passo 2

Ideia-chave (sem formalizar o teorema ainda): para formar uma sequência com exatamente 5 caras e 5 coroas, basta escolher em quais posições das 10 jogadas aparecerão as 5 caras. Depois que as posições das caras estão escolhidas, as outras posições ficam automaticamente com coroa. Portanto o problema reduz-se a contar de quantas maneiras diferentes se pode escolher 5 posições entre 10.

Passo 3

Fórmula e significado: o número de maneiras de escolher 5 posições entre 10 (quando a ordem das posições escolhidas não importa) é dado por um coeficiente binomial, que se escreve \binom{10}{5}. Esse coeficiente tem a expressão em termos de fatoriais:
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}.
Explicando os símbolos:
  • 10! significa 10 fatorial, ou seja o produto 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
  • 5! significa 5 fatorial, ou seja 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
    A razão por trás dessa fórmula: conta todas as permutações de 10 objetos e divide pelas permutações internas das 5 caras idênticas e das 5 coroas idênticas.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para calcular o valor (faça isso com calma na prova mostrando os passos):
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)\,(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}.
Cancelando um dos 5! com a parte final do 10! obtemos a forma mais prática para cálculo:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Passo 5

Continuando a simplificação numérica (passo a passo, para você poder fazer sem calculadora):
Calcule o numerador:
10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=30240.
Calcule o denominador:
5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
Portanto \binom{10}{5} é igual à divisão de 30240 por 120. (O resultado numérico final ficará na seção de resposta.)

Passo 6

Interpretação e dica para a prova: sempre que o problema pede “mesmo número de caras e coroas” em n lançamentos com n par, a conta é \binom{n}{n/2}. Exemplos pequenos para fixar a ideia:
  • Para 2 lançamentos, o número de sequências com mesma quantidade de caras e coroas é \binom{2}{1}=2 (as sequências: cara-coroa e coroa-cara).
  • Para 4 lançamentos, o número é \binom{4}{2}=6.
    Isso ajuda a memorizar o padrão e a reconhecer rapidamente a resposta em provas.

Passo 7

Recapitulando: o problema se transforma em escolher as 5 posições das 10 jogadas onde ocorrerão as caras; esse número é dado por \binom{10}{5}; simplificamos a expressão até obter a divisão 30240/120, cujo valor final está abaixo.

Resposta

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