Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm o mesmo número de caras e de coroas?
Que contêm o mesmo número de caras e de coroas?
Passo 1
O enunciado diz que uma moeda é jogada
vezes e cada jogada dá cara ou coroa. A pergunta é: quantos resultados (sequências das
jogadas) contêm o mesmo número de caras e de coroas?
Informações relevantes:
- Há
lançamentos. - Cada lançamento tem duas possíveis faces: cara ou coroa.
- “Mesmo número de caras e de coroas” significa que o número de caras é igual ao número de coroas numa sequência de
lançamentos. - Como
é par, isso significa exatamente caras e coroas em cada sequência que queremos contar.
Passo 2
Ideia-chave (sem formalizar o teorema ainda): para formar uma sequência com exatamente
caras e
coroas, basta escolher em quais posições das
jogadas aparecerão as
caras. Depois que as posições das caras estão escolhidas, as outras posições ficam automaticamente com coroa. Portanto o problema reduz-se a contar de quantas maneiras diferentes se pode escolher
posições entre
.
Passo 3
Fórmula e significado: o número de maneiras de escolher
posições entre
(quando a ordem das posições escolhidas não importa) é dado por um coeficiente binomial, que se escreve
. Esse coeficiente tem a expressão em termos de fatoriais:
Explicando os símbolos:
-
significa fatorial, ou seja o produto . -
significa fatorial, ou seja .
A razão por trás dessa fórmula: conta todas as permutações deobjetos e divide pelas permutações internas das caras idênticas e das coroas idênticas.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para calcular o valor (faça isso com calma na prova mostrando os passos):
Cancelando um dos
com a parte final do
obtemos a forma mais prática para cálculo:
Passo 5
Continuando a simplificação numérica (passo a passo, para você poder fazer sem calculadora):
Calcule o numerador:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Portanto
é igual à divisão de
por
. (O resultado numérico final ficará na seção de resposta.)
Passo 6
Interpretação e dica para a prova: sempre que o problema pede “mesmo número de caras e coroas” em
lançamentos com
par, a conta é
. Exemplos pequenos para fixar a ideia:
- Para
lançamentos, o número de sequências com mesma quantidade de caras e coroas é (as sequências: cara-coroa e coroa-cara). - Para
lançamentos, o número é .
Isso ajuda a memorizar o padrão e a reconhecer rapidamente a resposta em provas.
Passo 7
Recapitulando: o problema se transforma em escolher as
posições das
jogadas onde ocorrerão as caras; esse número é dado por
; simplificamos a expressão até obter a divisão
, cujo valor final está abaixo.
Resposta
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