Um grupo contém
homens e
mulheres. De quantos modos podemos arranjar essas pessoas em uma fila de maneira que os homens e as mulheres aparecem alternadamente?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Há
homens e mulheres (ou seja, pessoas no total). - Queremos arranjá‑las em uma fila de modo que homens e mulheres apareçam alternadamente (nenhum par de vizinhos do mesmo sexo).
A pergunta é: de quantos modos diferentes podemos formar essa fila, assumindo que cada pessoa é distinta?
Passo 2
Primeiro, vamos revisar dois conceitos que usaremos:
- Fatorial: para um inteiro positivo
, define‑se . Isso conta o número de maneiras de ordenar objetos distintos em fila. - Princípio multiplicativo (regra do produto): se uma escolha consiste de duas etapas independentes, e a primeira etapa pode ser feita de
maneiras e para cada escolha da primeira a segunda pode ser feita de maneiras, então o total de escolhas é .
Vou usar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Observação sobre a estrutura das filas alternadas: numa fila alternada de
posições só há duas possibilidades de padrão de posições por sexo:
- padrão A: começa por homem na posição 1, depois mulher na posição 2, homem na posição 3, e assim por diante; ou
- padrão B: começa por mulher na posição 1, depois homem na posição 2, etc.
Esses dois padrões são mutuamente exclusivos (uma fila que começa com homem não começa com mulher), então podemos contar as filas no padrão A e no padrão B separadamente e somar.
Passo 4
Contagem para o padrão A (começando por homem):
- As posições destinadas a homens são as posições ímpares:
. Há exatamente dessas posições. - Podemos colocar os
homens distintos nessas posições de maneiras (por definição de fatorial). - As posições restantes (as pares) são ocupadas pelas
mulheres distintas, que podem ser ordenadas entre si de maneiras.
Pelo princípio multiplicativo, o número de filas que obedecem ao padrão A é.
Passo 5
Contagem para o padrão B (começando por mulher):
- Simetricamente ao caso anterior, as mulheres ocupam as
posições ímpares e os homens as pares. - Pelo mesmo raciocínio, o número de filas que obedecem ao padrão B também é
.
Passo 6
Como os padrões A e B não se sobrepõem, o número total de filas alternadas é a soma dos dois casos:
Para fixar a intuição: se
então o total é
; se
então
.