De quantos modos podemos colocar 40 meninas e 10 meninos em uma ciranda, se meninos não podem se sentar juntos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente acomode 40 meninas e 10 meninos em volta de um círculo, sob a restrição de que dois meninos não podem ficar lado a lado. Este é um problema de permutação circular com restrição de não-adjacência.

Passo 2

Primeiro vamos “ancorar” as meninas: como são 40 meninas distintas num círculo, o número de maneiras de sentá-las é
(40-1)! = 39!

Passo 3

Após colocar as meninas, ficam 40 “vãos” ao redor do círculo (um entre cada par de meninas). Para evitar que meninos fiquem juntos, cada menino deve ocupar um desses vãos distintos. Logo, escolhemos 10 vãos dentre os 40, o que pode ser feito de
\binom{40}{10}
maneiras.

Passo 4

Uma vez escolhidos os 10 vãos, ainda precisamos permutar os 10 meninos entre si. Isso dá um fator de 10!

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos é o produto das etapas anteriores:
39! \times \binom{40}{10} \times 10!

Resposta

39!\,\binom{40}{10}\,10!

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