Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
que têm a letra C no primeiro lugar ou a letra A no segundo lugar ou a letra P no terceiro lugar?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra CAPÍTULO (8 letras distintas) que satisfazem pelo menos uma das condições: C na 1.ª posição, A na 2.ª posição ou P na 3.ª posição. Vamos modelar cada anagrama como uma permutação de 8 letras distintas e usar o princípio da inclusão–exclusão para contar a união desses três eventos.

Passo 2

Definimos os eventos:
  • A: C na 1.ª posição.
  • B: A na 2.ª posição.
  • D: P na 3.ª posição.
Cada um isoladamente fixa uma letra em uma posição e permuta as outras 7 letras livremente. Logo,
|A| = |B| = |D| = 7! = 5040.

Passo 3

Agora contamos as interseções de pares de eventos, que fixam duas posições:
  • A\cap B: C em 1 e A em 2 \implies permutam as 6 letras restantes, logo |A\cap B|=6!=720.
  • A\cap D: C em 1 e P em 3 \implies |A\cap D|=6!=720.
  • B\cap D: A em 2 e P em 3 \implies |B\cap D|=6!=720.

Passo 4

A interseção dos três eventos A\cap B\cap D fixa C em 1, A em 2 e P em 3, sobrando 5 letras para permutar:
|A\cap B\cap D| = 5! = 120.

Passo 5

Pelo princípio da inclusão–exclusão,
|A\cup B\cup D| = |A|+|B|+|D| - \bigl(|A\cap B|+|A\cap D|+|B\cap D|\bigr) + |A\cap B\cap D|.
Substituindo os valores:
|A\cup B\cup D| = 3\cdot5040 - 3\cdot720 + 120 = 15120 - 2160 + 120 = 13080.

Resposta

13080

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