Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
que têm a letra C no primeiro lugar ou a letra A no segundo lugar ou a letra P no terceiro lugar?
que têm a letra C no primeiro lugar ou a letra A no segundo lugar ou a letra P no terceiro lugar?
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra CAPÍTULO (8 letras distintas) que satisfazem pelo menos uma das condições: C na 1.ª posição, A na 2.ª posição ou P na 3.ª posição. Vamos modelar cada anagrama como uma permutação de 8 letras distintas e usar o princípio da inclusão–exclusão para contar a união desses três eventos.
Passo 2
Definimos os eventos:
-
: C na 1.ª posição. -
: A na 2.ª posição. -
: P na 3.ª posição.
Cada um isoladamente fixa uma letra em uma posição e permuta as outras 7 letras livremente. Logo,
Passo 3
Agora contamos as interseções de pares de eventos, que fixam duas posições:
-
: C em 1 e A em 2 permutam as 6 letras restantes, logo . -
: C em 1 e P em 3 . -
: A em 2 e P em 3 .
Passo 4
A interseção dos três eventos
fixa C em 1, A em 2 e P em 3, sobrando 5 letras para permutar:
Passo 5
Pelo princípio da inclusão–exclusão,
Substituindo os valores: