De quantos modos podemos comprar 3 tortas em uma loja onde há 5 tipos de tortas?

Passo 1

O que o enunciado pede: contar de quantos modos diferentes podemos comprar 3 tortas em uma loja que oferece 5 tipos distintos de torta.
Informações relevantes fornecidas (pressupostos usados):
  • Existem 5 tipos de torta disponíveis.
  • Vamos comprar 3 tortas no total.
  • As tortas do mesmo tipo são indistinguíveis entre si (importa só quantas de cada tipo se escolhe).
  • A ordem da compra não importa (por exemplo, escolher uma torta A e depois B é o mesmo que escolher B e depois A).

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis: chamo de x_i o número de tortas do tipo i que compramos, para i=1,2,3,4,5.
Cada x_i é um número inteiro não negativo (pode ser zero) e a soma das quantidades deve ser 3. Assim, o problema passa a contar o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=3.
Explicando: uma solução (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) indica, por exemplo, comprar x_1 tortas do tipo 1, x_2 do tipo 2, e assim por diante. Cada solução distinta corresponde a uma compra distinta no sentido do enunciado.

Passo 3

Princípio (estrelas e barras) que vamos usar e por que funciona: o número de soluções em inteiros não negativos da equação
x_1+x_2+\dots+x_n=k
é dado por
\binom{n+k-1}{k}.
Ideia por trás: represente as k tortas por k símbolos “estrela” ( *) e use n-1 barras ( |) para separar os grupos correspondentes a cada tipo. Por exemplo, para n=5 e k=3, uma disposição
*\\ *\\ |\\ |\\ *\\ |
(por exemplo) significa x_1=2,\\ x_2=0,\\ x_3=0,\\ x_4=1,\\ x_5=0. No total temos k+(n-1) posições e basta escolher quais k dessas posições serão estrelas (ou quais n-1 serão barras). Por isso o número de arranjos é \binom{n+k-1}{k} (ou equivalente \binom{n+k-1}{n-1}).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui n=5 (tipos) e k=3 (tortas). Pelo resultado acima o número de soluções é
\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}.

Passo 5

Cálculo explícito de \binom{7}{3}:
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=\frac{210}{6}=35.
Interpretação final: existem 35 maneiras distintas de comprar 3 tortas entre 5 tipos, quando a ordem não importa e as tortas do mesmo tipo são indistinguíveis.

Resposta

35

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