De quantos modos podemos comprar 3 tortas em uma loja onde há 5 tipos de tortas?
Passo 1
O que o enunciado pede: contar de quantos modos diferentes podemos comprar 3 tortas em uma loja que oferece 5 tipos distintos de torta.
Informações relevantes fornecidas (pressupostos usados):
- Existem
tipos de torta disponíveis. - Vamos comprar
tortas no total. - As tortas do mesmo tipo são indistinguíveis entre si (importa só quantas de cada tipo se escolhe).
- A ordem da compra não importa (por exemplo, escolher uma torta A e depois B é o mesmo que escolher B e depois A).
Passo 2
Modelagem do problema com variáveis: chamo de
o número de tortas do tipo
que compramos, para
.
Cada é um número inteiro não negativo (pode ser zero) e a soma das quantidades deve ser
. Assim, o problema passa a contar o número de soluções inteiras não negativas da equação
Cada
Explicando: uma solução
indica, por exemplo, comprar
tortas do tipo 1,
do tipo 2, e assim por diante. Cada solução distinta corresponde a uma compra distinta no sentido do enunciado.
Passo 3
Princípio (estrelas e barras) que vamos usar e por que funciona: o número de soluções em inteiros não negativos da equação
é dado por
Ideia por trás: represente as
tortas por
símbolos “estrela” (
) e use
barras (
) para separar os grupos correspondentes a cada tipo. Por exemplo, para
e
, uma disposição
(por exemplo) significa
. No total temos
posições e basta escolher quais
dessas posições serão estrelas (ou quais
serão barras). Por isso o número de arranjos é
(ou equivalente
).
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
(tipos) e
(tortas). Pelo resultado acima o número de soluções é
Passo 5
Cálculo explícito de
:
Interpretação final: existem
maneiras distintas de comprar
tortas entre
tipos, quando a ordem não importa e as tortas do mesmo tipo são indistinguíveis.