Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
x+y+z+w=3 ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se contar o número de soluções inteiras não-negativas da equação x+y+z+w=3.
  • Informações dadas:
    • As variáveis são x, y, z e w.
    • Cada variável é um número inteiro não-negativo (ou seja, x,y,z,w\in\{0,1,2,\dots\}).
    • A soma dos quatro deve ser exatamente 3.
  • Objetivo claro: encontrar quantas quádruplas (x,y,z,w) satisfazem essas condições.

Passo 2

Interpretação combinatória (ideia intuitiva que ajuda muito na prova):
  • Pensar em colocar 3 unidades (idéia: 3 bolinhas idênticas) distribuídas entre 4 caixas distintas (caixas correspondendo a x,y,z,w).
  • Cada distribuição das bolinhas corresponde a uma solução. Por exemplo, se todas as 3 bolinhas vão para a caixa x, isso é (3,0,0,0); se duas vão para y e uma para w, isso é (0,2,0,1), etc.
  • Nosso problema equivale a contar todas as formas de distribuir 3 itens indistinguíveis em 4 recipientes distintos, permitindo recipientes vazios.

Passo 3

Apresentação e derivação da fórmula “estrelas e barras” (stars and bars):
  • Notação geral: para contar o número de soluções inteiras não-negativas de x_1+x_2+\cdots+x_k=n usa-se a fórmula \binom{n+k-1}{k-1}.
  • Intuição / derivação curta e didática:
    • Imagine escrever n estrelas em linha para representar as unidades: \underbrace{*\\ *\\ \cdots\\ *}_{n\text{ vezes}}.
    • Para separar as k caixas coloca-se k-1 barras entre as estrelas (ou nas extremidades) para indicar os limites entre caixas.
    • No total temos n+(k-1)=n+k-1 posições que serão ocupadas por n estrelas e k-1 barras. Escolher quais n dessas posições serão estrelas (ou, equivalentemente, escolher as posições das k-1 barras) determina uma distribuição única.
    • Assim o número de distribuições é o número de maneiras de escolher n posições dentre n+k-1, ou seja \binom{n+k-1}{n}=\binom{n+k-1}{k-1}.
  • Explicação dos símbolos: \binom{a}{b} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes se pode escolher b objetos dentre a sem ordem.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui n=3 (soma total) e k=4 (número de variáveis).
  • Pela fórmula, o número de soluções é \binom{3+4-1}{4-1}=\binom{6}{3}.

Passo 5

Cálculo explícito de \binom{6}{3} sem calculadora:
  • Usando a fórmula \displaystyle \binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}, tem-se \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}.
  • Desenvolvendo sem usar fatorial completo: \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}.
  • Simplificando: \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\frac{120}{6}=20.

Passo 6

Verificação alternativa por separação em casos (controle de sanidade):
  • Fixar x=t com t=0,1,2,3 e contar soluções de y+z+w=3-t.
  • Para soma m=3-t em 3 variáveis não-negativas o número é \binom{m+3-1}{3-1}=\binom{m+2}{2}.
  • Para cada t obtemos:
    • t=0: \binom{5}{2}=10
    • t=1: \binom{4}{2}=6
    • t=2: \binom{3}{2}=3
    • t=3: \binom{2}{2}=1
  • Somando os casos: 10+6+3+1=20, que confere com o cálculo direto.

Resposta

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