Interpretação combinatória (ideia intuitiva que ajuda muito na prova):
Pensar em colocar 3 unidades (idéia: 3 bolinhas idênticas) distribuídas entre 4 caixas distintas (caixas correspondendo a x,y,z,w).
Cada distribuição das bolinhas corresponde a uma solução. Por exemplo, se todas as 3 bolinhas vão para a caixa x, isso é (3,0,0,0); se duas vão para y e uma para w, isso é (0,2,0,1), etc.
Nosso problema equivale a contar todas as formas de distribuir 3 itens indistinguíveis em 4 recipientes distintos, permitindo recipientes vazios.
Passo 3
Apresentação e derivação da fórmula “estrelas e barras” (stars and bars):
Notação geral: para contar o número de soluções inteiras não-negativas de x_1+x_2+\cdots+x_k=n usa-se a fórmula \binom{n+k-1}{k-1}.
Intuição / derivação curta e didática:
Imagine escrever n estrelas em linha para representar as unidades: \underbrace{*\\ *\\ \cdots\\ *}_{n\text{ vezes}}.
Para separar as k caixas coloca-se k-1 barras entre as estrelas (ou nas extremidades) para indicar os limites entre caixas.
No total temos n+(k-1)=n+k-1 posições que serão ocupadas por n estrelas e k-1 barras. Escolher quais n dessas posições serão estrelas (ou, equivalentemente, escolher as posições das k-1 barras) determina uma distribuição única.
Assim o número de distribuições é o número de maneiras de escolher n posições dentre n+k-1, ou seja \binom{n+k-1}{n}=\binom{n+k-1}{k-1}.
Explicação dos símbolos: \binom{a}{b} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes se pode escolher b objetos dentre a sem ordem.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Aqui n=3 (soma total) e k=4 (número de variáveis).
Pela fórmula, o número de soluções é \binom{3+4-1}{4-1}=\binom{6}{3}.
Passo 5
Cálculo explícito de \binom{6}{3} sem calculadora:
Usando a fórmula \displaystyle \binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}, tem-se \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}.
Desenvolvendo sem usar fatorial completo: \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}.