- De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
atletas no total. - Devemos formar três times, cada um com exatamente
atletas. - Os times têm nomes diferentes: Esporte, Tupi e Minas (ou seja, os times são distinguíveis).
- Pergunta: quantas maneiras distintas existem de fazer essa divisão?
Passo 2
Ideia inicial (sem calcular ainda): primeiro escolhemos quem vai para o time Esporte, depois quem vai para o time Tupi entre os restantes, e o que sobrar vai para o time Minas. Cada escolha será uma combinação porque a ordem dentro de um time não importa (só importa quem está no time). Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula de combinação e o que cada símbolo significa:
onde:
-
(fatorial de ) é o produto dos inteiros positivos até : , -
é o número de maneiras de escolher objetos dentre sem considerar ordem, -
é o total de elementos disponíveis e é quantos escolhemos.
Passo 3
Escolhendo o time Esporte: devemos escolher
atletas dentre os
. O número de maneiras é
Vamos calcular
de forma prática reduzindo fatores:
Agora simplificamos passo a passo:
-
. - Numerador
.
Podemos dividir porem partes:
Portanto
.
Passo 4
Depois de escolher Esporte, restam
atletas. Para formar o time Tupi escolhemos
dentre esses
:
Calculando:
Logo
.
Passo 5
O que sobrar (
atletas) forma o time Minas automaticamente, e
Pela regra do produto (escolhas sequenciais independentes), o número total de divisões é
Passo 6
Também podemos ver isso na forma de fatorial diretamente. Multiplicando e simplificando as combinações:
Isso é a forma compacta e clássica para dividir
elementos em três grupos de
quando os grupos são distintos.
Passo 7
Agora calculamos o produto numérico:
Portanto o número total de modos é
.
Observação importante (para a prova): se os três times fossem indistinguíveis (sem nomes), teríamos de dividir por
porque permutar os três grupos não criaria uma nova divisão. Mas aqui os times têm nomes diferentes, então NÃO dividimos por
.