1. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantos modos podemos colocar 8 pessoas em fila sujeitas a duas condições simultâneas:
  1. Vera e Paulo não fiquem juntos.
  2. Helena e Pedro permaneçam juntos.
Informações dadas:
  • 8 pessoas distintas no total.
  • As pessoas “Vera” e “Paulo” (vou usar V e P) não podem ficar em posições adjacentes.
  • As pessoas “Helena” e “Pedro” (vou usar H e D) devem ficar juntas (adjacentes).
  • Queremos o número de filas (ordenações) que satisfaçam ambas as condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Ideia-chave e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Se temos n objetos distintos e queremos ordená‑los todos numa fila, o número de ordens possíveis é n! (lê‑se " n fatorial"), que é o produto
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo rápido: para 3 pessoas há 3!=6 filas.
  • Quando exigimos que duas pessoas fiquem juntas (por exemplo H e D), um truque muito usado é tratar esse par como um único “bloco” temporário. Se juntamos H e D num bloco, reduzo o número de objetos a ordenar e, no final, multiplicamos pelo número de arranjos internos desse bloco (aqui 2, pois H pode vir antes de D ou depois).
  • Para impor que duas pessoas NÃO fiquem juntas, é comum contar o total de arranjos sem essa restrição e subtrair os arranjos onde elas ficam juntas (princípio da contagem complementar / inclusão-exclusão simples).
Vamos aplicar essas ideias ao problema.

Passo 3

Contar as filas em que H e D ficam juntos (ignorando por enquanto a restrição sobre V e P):
  • Tratamos o par (H,D) como um bloco. Então, em vez de 8 objetos, temos 7 objetos (o bloco HD + as outras 6 pessoas).
  • O número de ordenações desses 7 objetos é 7!.
  • Dentro do bloco HD 2 ordenações possíveis: H D ou D H.
Logo o número de filas com H e D juntos é
2\cdot 7!.

Passo 4

Agora contamos quantas filas têm simultaneamente H e D juntos e V e P também juntos (essas são as filas que teremos de excluir, pois queremos que V e P NÃO fiquem juntos):
  • Tratamos ambos os pares como blocos: bloco HD e bloco VP. Assim temos 6 objetos no total (os dois blocos + as outras 4 pessoas).
  • O número de ordenações desses 6 objetos é 6!.
  • O bloco HD pode ser organizado de 2 formas internas; o bloco VP também de 2 formas internas.
  • Pelo princípio multiplicativo, o número total de filas em que ambos os pares estão juntos é
2\cdot 2\cdot 6! = 4\cdot 6!.

Passo 5

Aplicamos a contagem complementar: entre todas as filas nas quais H e D estão juntos (casos permitidos inicialmente), devemos eliminar aquelas em que V e P também estão juntas (porque queremos que V e P NÃO fiquem juntas). Assim o número desejado é
2\cdot 7! - 4\cdot 6!.
Fazendo uma manipulação algébrica para simplificar (usei 7!=7\cdot6!):
2\cdot 7! - 4\cdot 6! = 2\cdot(7\cdot6!) - 4\cdot6! = (14-4)\cdot6! = 10\cdot6!.
Calculando numericamente ( 6! = 720):
10\cdot6! = 10\cdot 720 = 7200.

Resposta

7200

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