- De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantos modos podemos colocar
pessoas em fila sujeitas a duas condições simultâneas:
- Vera e Paulo não fiquem juntos.
- Helena e Pedro permaneçam juntos.
Informações dadas:
- Há
pessoas distintas no total. - As pessoas “Vera” e “Paulo” (vou usar
e ) não podem ficar em posições adjacentes. - As pessoas “Helena” e “Pedro” (vou usar
e ) devem ficar juntas (adjacentes). - Queremos o número de filas (ordenações) que satisfaçam ambas as condições ao mesmo tempo.
Passo 2
Ideia-chave e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Se temos
objetos distintos e queremos ordená‑los todos numa fila, o número de ordens possíveis é (lê‑se " fatorial"), que é o produto
Exemplo rápido: para
pessoas há
filas.
-
Quando exigimos que duas pessoas fiquem juntas (por exemplo
e ), um truque muito usado é tratar esse par como um único “bloco” temporário. Se juntamos e num bloco, reduzo o número de objetos a ordenar e, no final, multiplicamos pelo número de arranjos internos desse bloco (aqui , pois pode vir antes de ou depois). -
Para impor que duas pessoas NÃO fiquem juntas, é comum contar o total de arranjos sem essa restrição e subtrair os arranjos onde elas ficam juntas (princípio da contagem complementar / inclusão-exclusão simples).
Vamos aplicar essas ideias ao problema.
Passo 3
Contar as filas em que
e
ficam juntos (ignorando por enquanto a restrição sobre
e
):
- Tratamos o par
como um bloco. Então, em vez de objetos, temos objetos (o bloco + as outras pessoas). - O número de ordenações desses
objetos é . - Dentro do bloco
há ordenações possíveis: ou .
Logo o número de filas com
e
juntos é
Passo 4
Agora contamos quantas filas têm simultaneamente
e
juntos e
e
também juntos (essas são as filas que teremos de excluir, pois queremos que
e
NÃO fiquem juntos):
- Tratamos ambos os pares como blocos: bloco
e bloco . Assim temos objetos no total (os dois blocos + as outras pessoas). - O número de ordenações desses
objetos é . - O bloco
pode ser organizado de formas internas; o bloco também de formas internas. - Pelo princípio multiplicativo, o número total de filas em que ambos os pares estão juntos é
Passo 5
Aplicamos a contagem complementar: entre todas as filas nas quais
e
estão juntos (casos permitidos inicialmente), devemos eliminar aquelas em que
e
também estão juntas (porque queremos que
e
NÃO fiquem juntas). Assim o número desejado é
Fazendo uma manipulação algébrica para simplificar (usei
):
Calculando numericamente (
):
Resposta
7200