1. Quantas são as permutações simples dos números
1,2,3, \ldots, 10

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas são as permutações simples dos números \,1,2,3,\ldots,10\,?”\n
Informações dadas:
  • Temos os 10 números \,1,2,3,\ldots,10\,.
  • Precisamos contar todas as sequências ordenadas que usam cada um desses números exatamente uma vez (isto é, arranjos onde cada número aparece uma vez e a ordem importa).
  • Não há outras restrições (por exemplo, repetição não é permitida).

Passo 2

Entender o que estamos contando: uma “permutação simples” aqui significa uma lista ordenada com todos os elementos, cada qual aparecendo uma vez. Por exemplo, para os três primeiros números um exemplo de permutação seria (1,3,2).\n
Regra básica que vamos usar (Princípio Fundamental da Contagem): se uma tarefa é feita em sequência de etapas independentes e a primeira etapa tem a opções, a segunda tem b opções (dependendo da escolha anterior), a terceira tem c opções, etc., então o número total de resultados possíveis é a\cdot b\cdot c\cdots. Aqui cada posição da sequência é uma etapa.

Passo 3

Aplicando o princípio à nossa situação: para preencher a primeira posição da sequência temos 10 opções (qualquer um dos 10 números). Depois de escolher o primeiro, para a segunda posição restam 9 números possíveis. Para a terceira restam 8, e assim por diante, até a última posição, para a qual restará 1 número.\n
Portanto o número total de permutações é o produto
10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.

Passo 4

Nomeamos esse produto com a notação de fatorial. Definição: para um inteiro positivo n,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.
No nosso caso n=10, logo o total de permutações é \,10!\,. Um exemplo menor para fixar a ideia: para n=3,
3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6,
que corresponde às seis permutações (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).

Passo 5

Agora calculamos \,10! passo a passo, multiplicando em etapas fáceis de seguir:
10\cdot 9 = 90,
90\cdot 8 = 720,
720\cdot 7 = 5040,
5040\cdot 6 = 30240,
30240\cdot 5 = 151200,
151200\cdot 4 = 604800,
604800\cdot 3 = 1814400,
1814400\cdot 2 = 3628800,
3628800\cdot 1 = 3628800.

Passo 6

Conclusão: o número total de permutações simples dos números \,1,2,\ldots,10\, é \,10!\,, cujo valor numérico é \,3628800\,. Está pronto — na prova, se pedirem apenas o número, você pode escrever 10! ou 3628800. Força aí, você consegue!

Resposta

10! = 3628800

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