- Quantas são as permutações simples dos números
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas são as permutações simples dos números
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos os
números . - Precisamos contar todas as sequências ordenadas que usam cada um desses números exatamente uma vez (isto é, arranjos onde cada número aparece uma vez e a ordem importa).
- Não há outras restrições (por exemplo, repetição não é permitida).
Passo 2
Entender o que estamos contando: uma “permutação simples” aqui significa uma lista ordenada com todos os elementos, cada qual aparecendo uma vez. Por exemplo, para os três primeiros números um exemplo de permutação seria
.\n
Regra básica que vamos usar (Princípio Fundamental da Contagem): se uma tarefa é feita em sequência de etapas independentes e a primeira etapa tem opções, a segunda tem
opções (dependendo da escolha anterior), a terceira tem
opções, etc., então o número total de resultados possíveis é
. Aqui cada posição da sequência é uma etapa.
Regra básica que vamos usar (Princípio Fundamental da Contagem): se uma tarefa é feita em sequência de etapas independentes e a primeira etapa tem
Passo 3
Aplicando o princípio à nossa situação: para preencher a primeira posição da sequência temos
opções (qualquer um dos
números). Depois de escolher o primeiro, para a segunda posição restam
números possíveis. Para a terceira restam
, e assim por diante, até a última posição, para a qual restará
número.\n
Portanto o número total de permutações é o produto
Portanto o número total de permutações é o produto
Passo 4
Nomeamos esse produto com a notação de fatorial. Definição: para um inteiro positivo
,
No nosso caso
, logo o total de permutações é
. Um exemplo menor para fixar a ideia: para
,
que corresponde às seis permutações
.
Passo 5
Agora calculamos
passo a passo, multiplicando em etapas fáceis de seguir:
Passo 6
Conclusão: o número total de permutações simples dos números
é
, cujo valor numérico é
. Está pronto — na prova, se pedirem apenas o número, você pode escrever
ou
. Força aí, você consegue!