De quantos modos r rapazes e m moças podem se colocar em fila de modo que as moças fiquem juntas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir de quantas formas r rapazes e m moças podem se organizar numa fila, mas com a condição de que todas as moças fiquem juntas. Vamos usar conceitos de Permutação e Agrupamento de Elementos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que todas as moças são um único bloco. Isso significa que, ao invés de termos m moças separadas, temos uma única “super moça”. Assim, temos agora r rapazes mais esse bloco de moças, totalizando r + 1 “elementos” para organizar na fila.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras esses r + 1 elementos podem ser organizados. Como são todos distintos, usamos a fórmula de permutação:
(r + 1)!
Esse fatorial representa todas as possíveis ordens dos r rapazes e do bloco de moças.

Passo 4

Mas não acabou! Dentro do bloco das moças, elas também podem se organizar de diferentes maneiras entre si. Como são m moças, o número de formas de organizá-las é:
m!

Passo 5

Para encontrar o total de arranjos onde as moças ficam juntas, multiplicamos as duas quantidades que calculamos:
(r + 1)! times m!

Resposta

O número de modos que r rapazes e m moças podem se colocar em fila com as moças juntas é:
(r + 1)! times m!

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