Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos de primeira rodada?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de combinatória juntos! A questão fala sobre um campeonato com 12 clubes que vão disputar 6 jogos na primeira rodada. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses 6 jogos. Para isso, vamos usar conceitos de combinatória, como combinações e permutações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada jogo é formado por dois clubes. Então, precisamos agrupar os 12 clubes em 6 pares, onde cada par representa um jogo. A gente quer saber quantas formas diferentes podemos fazer esses pares.
Passo 3
Para formar os pares, vamos usar a ideia de combinação, que é uma forma de selecionar itens onde a ordem não importa. O número de maneiras de escolher 2 clubes dentre 12 para formar o primeiro jogo é dado por:
Isso significa “12 escolhe 2”.
Passo 4
Depois de formar o primeiro par, restam 10 clubes. Agora, precisamos escolher 2 clubes dentre esses 10 para formar o segundo jogo:
E assim por diante, até formar todos os 6 jogos. Então, a multiplicação das combinações fica assim:
Passo 5
No entanto, essa conta conta cada conjunto de jogos várias vezes, porque a ordem em que escolhemos os pares não importa. Para corrigir isso, precisamos dividir pelo número de maneiras de organizar os 6 jogos, que é dado por
(fatorial de 6).
Além disso, dentro de cada par, a ordem dos dois clubes não importa, então também dividimos por
(já que são 6 jogos).
Passo 6
Resumindo tudo, a fórmula para calcular o número de maneiras de organizar os 6 jogos é:
Onde
é o fatorial de 12.
Resposta
Portanto, o número de modos possível para selecionar os jogos da primeira rodada é: