Em uma operação de corte ortogonal, a ferramenta tem um ângulo de saída ={0,1}15^{\circ}). A espessura do cavaco indeformado =0,30 \mathrm{~mm} e o corte produz uma espessura do cavaco =0,65 \mathrm{~mm}. Calcule
15.1 (a) o ângulo do plano de cisalhamento e (b) a deformação de cisalhamento para a operação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (peguei estes do enunciado):
    • ângulo de saída (ângulo de folga / rake) \alpha = 15^\circ.
    • espessura do cavaco indeformado \,t_1 = 0,30\\ \mathrm{mm}.
    • espessura do cavaco deformado \,t_2 = 0,65\\ \mathrm{mm}.
  • Perguntas:
    • (a) calcular o ângulo do plano de cisalhamento \varphi;
    • (b) calcular a deformação de cisalhamento (tangencial) \gamma na superfície de cisalhamento.

Passo 2

Conceito e definição útil: razão de espessuras (razão de corte) r.
  • Definição: r=\frac{t_1}{t_2}.
  • Calcule r com os valores dados:
r=\frac{0,30}{0,65}=\frac{30}{65}=\frac{6}{13}\approx 0,461538.

Passo 3

Relação geométrica entre r, \alpha e \varphi.
  • Em corte ortogonal a geometria do cavaco dá a relação (obtida por semelhança de triângulos na figura de cisalhamento):
r=\frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
  • Esta fórmula significa que a razão entre a espessura antes e depois do corte é dada pela razão entre a componente \cos\varphi e a projeção \sin(\varphi-\alpha) associadas ao plano de cisalhamento e ao ângulo de saída \alpha.

Passo 4

Isolar \varphi da relação anterior (algebra passo a passo).
Partindo de
r=\frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)},
multiplica-se ambos os lados por \sin(\varphi-\alpha):
r\,\sin(\varphi-\alpha)=\cos\varphi.
Usando a identidade \sin(\varphi-\alpha)=\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha, obtém-se
r(\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha)=\cos\varphi.
Agrupando os termos com \cos\varphi:
r\sin\varphi\cos\alpha = \cos\varphi + r\cos\varphi\sin\alpha = \cos\varphi\,(1+r\sin\alpha).
Dividindo por \cos\varphi (assumindo \cos\varphi\neq0) e isolando \tan\varphi:
r\cos\alpha\,\tan\varphi = 1 + r\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi = \frac{1 + r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.

Passo 5

Calcular numericamente \varphi.
  • Primeiro calcule \sin\alpha e \cos\alpha para \alpha=15^\circ: \sin15^\circ \approx 0,258819,\qquad \cos15^\circ \approx 0,965926.
  • Já temos r\approx0,461538. Agora calcule os termos: r\sin\alpha \approx 0,461538\times0,258819 \approx 0,1193,
r\cos\alpha \approx 0,461538\times0,965926 \approx 0,4451.
  • Logo \tan\varphi = \frac{1 + r\sin\alpha}{r\cos\alpha} \approx \frac{1 + 0,1193}{0,4451} = \frac{1,1193}{0,4451}\approx 2,5158.
  • Tomando arco-tangente (em graus): \varphi \approx \arctan(2,5158)\approx 67,8^\circ.

Passo 6

Fórmula da deformação de cisalhamento \gamma e cálculo.
  • Para corte ortogonal a deformação de cisalhamento na superfície de cisalhamento é dada por \gamma=\tan(\varphi-\alpha)+\cot\varphi.Explicação rápida do que cada termo representa: \tan(\varphi-\alpha) é a razão associada ao deslocamento relativo paralelo ao plano de cisalhamento devido à diferença de direção entre o plano de cisalhamento e a ferramenta; \cot\varphi é a componente geométrica complementar proveniente da rotação do material no plano de cisalhamento. A soma dá a deformação total por unidade de espessura ao longo desse plano.
  • Calcule \varphi-\alpha: \varphi-\alpha \approx 67,8^\circ - 15^\circ = 52,8^\circ.
  • Agora calcule os termos numéricos: \tan(52,8^\circ)\approx 1,315,
\cot\varphi = \frac{1}{\tan\varphi} \approx \frac{1}{2,5158}\approx 0,3976.
  • Somando: \gamma \approx 1,315 + 0,3976 \approx 1,7126 \approx 1,71.

Resposta

(a) \varphi \approx 67,8^\circ
(b) \gamma \approx 1,71

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