Quantos números naturais são múltiplos de 2022 e têm exatamente 2022 divisores (incluindo o 1 e o próprio número)?

Passo 1

O que o problema pede: contar quantos números naturais N satisfazem duas condições ao mesmo tempo:
  1. N é múltiplo de 2022.
  2. N tem exatamente 2022 divisores (contando 1 e N).
Informações relevantes dadas/obtidas imediatamente do enunciado:
  • 2022 factoriza como \;2022 = 2\cdot 3\cdot 337. (Peguei isso fazendo a fatoração de 2022.)
  • Se escrevemos a fatoração prima de N como produto de primos com expoentes, teremos uma fórmula para o número de divisores (isso usaremos em seguida).

Passo 2

Entendendo a fórmula do número de divisores (aula rápida e necessária).
  • Se um número N tem fatoração prima
N=\prod_{i} p_i^{e_i},
onde cada p_i é um primo distinto e e_i é um inteiro positivo (o expoente do primo p_i), então o número de divisores de N é dado por
\tau(N)=\prod_{i} (e_i+1).
  • Aqui \tau(N) é apenas a notação para “número de divisores”. Cada fator (e_i+1) conta as possibilidades de expoente do primo p_i em um divisor (de 0 até e_i), e multiplicando combinamos escolhas para todos os primos. Exemplo pequeno: para 12=2^2\cdot3^1 temos \tau(12)=(2+1)(1+1)=3\cdot2=6, o que bate com a listagem dos divisores.

Passo 3

Aplicando a condição "múltiplo de 2022".
  • Ser múltiplo de 2022=2\cdot3\cdot337 significa que N tem pelo menos os primos 2,3,337 na sua fatoração, cada um com expoente \ge 1.
  • Logo podemos escrever a fatoração de N como
N=2^{e_1} 3^{e_2} 337^{e_3}\prod_{p\neq 2,3,337} p^{a_p},
com e_1,e_2,e_3\ge 1 e a_p\ge 0.
  • Pela fórmula dos divisores,
\tau(N)=(e_1+1)(e_2+1)(e_3+1)\prod_{p\neq 2,3,337}(a_p+1).
Queremos \tau(N)=2022.

Passo 4

Analisando os fatores possíveis de \tau(N) e por que não podem aparecer “primos extras”.
  • Temos \tau(N)=2022. Escrevendo a fatoração de 2022:
2022=2\cdot 3\cdot 337.
  • Cada fator (e_i+1) ou (a_p+1) é um inteiro \ge 1 e, multiplicados, dão 2022. Note que quaisquer desses fatores devem dividir 2022, portanto só podem ser de entre os divisores de 2022, ou seja o conjunto \{1,2,3,6,337,674,1011,2022\}.
  • Importante observação: os expoentes originais na fatoração de 2022 são todos 1 (isto é, 2022 tem exatamente três fatores primos distintos contando multiplicidade). Isso implica que não é possível decompor 2022 como produto de mais de 3 inteiros todos maiores ou iguais a 2, porque cada inteiro maior ou igual a 2 na decomposição corresponde a agrupar pelo menos um dos fatores primos 2,3,337. Como há só três fatores primos ( 2,3,337), o número máximo de fatores \ge2 numa multiplicação que dá 2022 é 3.
  • Em termos práticos: se houvesse algum primo adicional q\neq 2,3,337 com a_q\ge1, então existiria um fator (a_q+1)\ge2 multiplicando o produto, o que forçaria o produto a ter pelo menos 4 fatores \ge2 — isto é impossível porque 2022 só tem três fatores primos individuais para “distribuir”. Portanto não pode haver primos adicionais: a lista de primos que dividem N é exatamente \{2,3,337\}.

Passo 5

Redução final à contagem de possíveis expoentes.
  • Como concluímos que os únicos primos em N são 2,3,337, escrevemos os fatores correspondentes:
(e_1+1)(e_2+1)(e_3+1)=2022=2\cdot3\cdot337,
com e_1,e_2,e_3\ge1 (portanto cada e_i+1\ge2).
  • Agora, pensar em como fatorizar 2022 em três inteiros \ge2. Como 2022 é produto de três primos distintos (cada um na potência 1), a única maneira de escrever 2022 como produto de três inteiros todos \ge2 é justamente
2022 = 2\cdot 3\cdot 337.
Não existem outras tri- factorações pois não há multiplicidade extra dos primos para dividir mais refinadamente.
  • Isso significa que o conjunto \{e_1+1,e_2+1,e_3+1\} deve ser \{2,3,337\} em alguma ordem. Logo os expoentes \{e_1,e_2,e_3\} são \{1,2,336\} em alguma ordem.

Passo 6

Contando as atribuições distintas dos expoentes aos primos.
  • Os três expoentes finais são 1,2,336 e devem ser atribuídos aos primos 2,3,337. Como esses três números são distintos, o número de maneiras de atribuí-los é simplesmente o número de permutações de três elementos: 3!=6.
  • Cada atribuição dá um número N distinto (porque muda o expoente de um primo específico), e todas essas 6 atribuições satisfazem simultaneamente que N é múltiplo de 2022 e que \tau(N)=2022.
  • Não há mais casos (não existe atribuição com primos extras nem outra fatoração possível), então o total é 6.

Resposta

6

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