Quantos números naturais são múltiplos de 2022 e têm exatamente 2022 divisores (incluindo o 1 e o próprio número)?
Passo 1
O que o problema pede: contar quantos números naturais
satisfazem duas condições ao mesmo tempo:
-
é múltiplo de . -
tem exatamente divisores (contando e ).
Informações relevantes dadas/obtidas imediatamente do enunciado:
-
factoriza como . (Peguei isso fazendo a fatoração de .) - Se escrevemos a fatoração prima de
como produto de primos com expoentes, teremos uma fórmula para o número de divisores (isso usaremos em seguida).
Passo 2
Entendendo a fórmula do número de divisores (aula rápida e necessária).
- Se um número
tem fatoração prima
onde cada
é um primo distinto e
é um inteiro positivo (o expoente do primo
), então o número de divisores de
é dado por
- Aqui
é apenas a notação para “número de divisores”. Cada fator conta as possibilidades de expoente do primo em um divisor (de até ), e multiplicando combinamos escolhas para todos os primos. Exemplo pequeno: para temos , o que bate com a listagem dos divisores.
Passo 3
Aplicando a condição "múltiplo de
".
- Ser múltiplo de
significa que tem pelo menos os primos na sua fatoração, cada um com expoente . - Logo podemos escrever a fatoração de
como
com
e
.
- Pela fórmula dos divisores,
Queremos
.
Passo 4
Analisando os fatores possíveis de
e por que não podem aparecer “primos extras”.
- Temos
. Escrevendo a fatoração de :
- Cada fator
ou é um inteiro e, multiplicados, dão . Note que quaisquer desses fatores devem dividir , portanto só podem ser de entre os divisores de , ou seja o conjunto . - Importante observação: os expoentes originais na fatoração de
são todos (isto é, tem exatamente três fatores primos distintos contando multiplicidade). Isso implica que não é possível decompor como produto de mais de inteiros todos maiores ou iguais a , porque cada inteiro maior ou igual a na decomposição corresponde a agrupar pelo menos um dos fatores primos . Como há só três fatores primos ( ), o número máximo de fatores numa multiplicação que dá é . - Em termos práticos: se houvesse algum primo adicional
com , então existiria um fator multiplicando o produto, o que forçaria o produto a ter pelo menos fatores — isto é impossível porque só tem três fatores primos individuais para “distribuir”. Portanto não pode haver primos adicionais: a lista de primos que dividem é exatamente .
Passo 5
Redução final à contagem de possíveis expoentes.
- Como concluímos que os únicos primos em
são , escrevemos os fatores correspondentes:
com
(portanto cada
).
- Agora, pensar em como fatorizar
em três inteiros . Como é produto de três primos distintos (cada um na potência ), a única maneira de escrever como produto de três inteiros todos é justamente
Não existem outras tri- factorações pois não há multiplicidade extra dos primos para dividir mais refinadamente.
- Isso significa que o conjunto
deve ser em alguma ordem. Logo os expoentes são em alguma ordem.
Passo 6
Contando as atribuições distintas dos expoentes aos primos.
- Os três expoentes finais são
e devem ser atribuídos aos primos . Como esses três números são distintos, o número de maneiras de atribuí-los é simplesmente o número de permutações de três elementos: . - Cada atribuição dá um número
distinto (porque muda o expoente de um primo específico), e todas essas atribuições satisfazem simultaneamente que é múltiplo de e que . - Não há mais casos (não existe atribuição com primos extras nem outra fatoração possível), então o total é
.
Resposta
6