Mostre que se a soma de dois naturais é primo então esses números são primos entre si.

Passo 1

O enunciado dá dois números naturais a e b tais que a soma deles é um número primo: a+b=p, onde p é primo. A pergunta é: mostrar que esses dois números são primos entre si, ou seja, mostrar que \gcd(a,b)=1.
Observação importante (para evitar ambiguidade): aqui vou considerar números naturais como inteiros positivos ( 1,2,3,\dots). Se alguém permitisse 0 como natural, o par (p,0) daria soma p e \gcd(p,0)=p\neq1, então a afirmação seria falsa nessa interpretação. Portanto trabalho com a,b\ge1.

Passo 2

Definições e propriedades que usaremos (explicadas com calma).
Definição de divisor comum e de máximo divisor comum: um inteiro d é divisor de a (escrevemos d\mid a) se existe inteiro k tal que a=d\cdot k. O máximo divisor comum \gcd(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
Propriedade útil (linearidade da divisibilidade): se d\mid a e d\mid b então d divide qualquer combinação linear inteira ua+vb para u,v\in\mathbb{Z}. Em particular, tomando u=v=1, se d\mid a e d\mid b então d\mid (a+b).
Prova rápida dessa propriedade: se a=dk e b=dl com k,l\in\mathbb{Z}, então a+b=d(k+l), logo d\mid(a+b).
Também vamos usar a definição de número primo: p é primo se seus divisores positivos são apenas 1 e p.

Passo 3

Estratégia do argumento: prova por contradição muito direta. Suponha que \gcd(a,b)=d com d>1. Vou mostrar que isso leva a contradição com as desigualdades que surgem de a+b=p.
Como d divide a e b, pela propriedade do passo anterior temos d\mid(a+b). Mas a+b=p, então d\mid p.

Passo 4

Como p é primo e d é um divisor positivo de p, necessariamente d=1 ou d=p. Mas assumimos d>1, então a única possibilidade é d=p.
Se d=p divide a, então a é múltiplo de p. Como a\ge1 e a é múltiplo de p, isso implica a\ge p (os múltiplos positivos de p são p,2p,\dots). Porém a<p porque a+b=p e b\ge1 implica a=p-b\le p-1. Portanto obtemos a\ge p e a\le p-1 ao mesmo tempo, o que é impossível. Essa é a contradição.

Passo 5

Da contradição concluímos que a hipótese \gcd(a,b)>1 é falsa. Logo \gcd(a,b)=1. Em palavras: se dois inteiros positivos somam um primo p, eles não têm nenhum divisor comum maior que 1 — são primos entre si.

Resposta

\gcd(a,b)=1

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