Mostre que se a soma de dois naturais é primo então esses números são primos entre si.
Passo 1
O enunciado dá dois números naturais
e
tais que a soma deles é um número primo:
, onde
é primo. A pergunta é: mostrar que esses dois números são primos entre si, ou seja, mostrar que
.
Observação importante (para evitar ambiguidade): aqui vou considerar números naturais como inteiros positivos (
). Se alguém permitisse
como natural, o par
daria soma
e
, então a afirmação seria falsa nessa interpretação. Portanto trabalho com
.
Passo 2
Definições e propriedades que usaremos (explicadas com calma).
Definição de divisor comum e de máximo divisor comum: um inteiro
é divisor de
(escrevemos
) se existe inteiro
tal que
. O máximo divisor comum
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
.
Propriedade útil (linearidade da divisibilidade): se
e
então
divide qualquer combinação linear inteira
para
. Em particular, tomando
, se
e
então
.
Prova rápida dessa propriedade: se
e
com
, então
, logo
.
Também vamos usar a definição de número primo:
é primo se seus divisores positivos são apenas
e
.
Passo 3
Estratégia do argumento: prova por contradição muito direta. Suponha que
com
. Vou mostrar que isso leva a contradição com as desigualdades que surgem de
.
Como
divide
e
, pela propriedade do passo anterior temos
. Mas
, então
.
Passo 4
Como
é primo e
é um divisor positivo de
, necessariamente
ou
. Mas assumimos
, então a única possibilidade é
.
Se
divide
, então
é múltiplo de
. Como
e
é múltiplo de
, isso implica
(os múltiplos positivos de
são
). Porém
porque
e
implica
. Portanto obtemos
e
ao mesmo tempo, o que é impossível. Essa é a contradição.
Passo 5
Da contradição concluímos que a hipótese
é falsa. Logo
. Em palavras: se dois inteiros positivos somam um primo
, eles não têm nenhum divisor comum maior que
— são primos entre si.