Mostre que todo número primo maior que 5 é da forma
ou
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo número primo maior que
tem uma das duas formas
ou
, onde
.
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
- Estamos considerando um número primo
tal que . - Podemos usar divisão com resto (algoritmo da divisão) para escrever
na forma com resto .
Nada mais será assumido aqui — a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Explicação do conceito-chave: resto na divisão por
.
Pelo algoritmo da divisão, qualquer inteiro pode ser escrito de forma única como
Pelo algoritmo da divisão, qualquer inteiro
onde
é um inteiro não negativo e o resto
satisfaz
Esse
é exatamente o resto da divisão de
por
, também chamado de classe residual módulo
. Ou seja, todo inteiro deixa um desses restos ao ser dividido por
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso primo
.
Tomamos com
. Agora vamos analisar cada possibilidade para
e ver quais são compatíveis com
ser primo.
Tomamos
Passo 4
Caso
.
Se então
é múltiplo de
, logo é múltiplo de
e de
. Como
(porque
), isso mostra que
é composto. Portanto
não pode ocorrer para um primo
.
Se
Passo 5
Caso
.
Se podemos fatorar:
Se
Como
(porque
quando
), isso mostra que
é divisível por
e maior que
, logo é composto. Portanto
é impossível para um primo
.
Passo 6
Caso
.
Se então
Se
De novo
, logo
é divisível por
e maior que
, portanto composto. Assim
também não pode ocorrer.
Passo 7
Caso
.
Se então
Se
Como
quando
(e para
temos
), isso mostra
é divisível por
e maior que
, portanto composto. Logo
é impossível para um primo
.
Passo 8
Restam apenas os casos
e
.
Portanto, a única possibilidade para um primo escrito como
é que
ou
. Em outras palavras,
Portanto, a única possibilidade para um primo
Observação didática importante: isso mostra que todo primo maior que
está em uma dessas classes residuais modulo
. Não significa que todo número da forma
ou
seja primo (por exemplo
é composto).
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
(primo, forma ). -
(primo, forma ). -
(primo, forma ).
Esses exemplos mostram primos reais caindo nas duas formas possíveis.
Resposta
Todo número primo maior que
tem a forma
ou
, com
.