Mostre que todo número primo maior que 5 é da forma 6 n+1 ou 6 n+5, para n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo número primo maior que 5 tem uma das duas formas \;6n+1\; ou \;6n+5\;, onde n\in\mathbb{N}.
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
  • Estamos considerando um número primo p tal que p>5.
  • Podemos usar divisão com resto (algoritmo da divisão) para escrever p na forma 6n+r com resto r.
    Nada mais será assumido aqui — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Explicação do conceito-chave: resto na divisão por 6.
Pelo algoritmo da divisão, qualquer inteiro p pode ser escrito de forma única como
p = 6n + r
onde n é um inteiro não negativo e o resto r satisfaz
r \in \{0,1,2,3,4,5\}.
Esse r é exatamente o resto da divisão de p por 6, também chamado de classe residual módulo 6. Ou seja, todo inteiro deixa um desses restos ao ser dividido por 6.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso primo p>5.
Tomamos p=6n+r com r\in\{0,1,2,3,4,5\}. Agora vamos analisar cada possibilidade para r e ver quais são compatíveis com p ser primo.

Passo 4

Caso r=0.
Se p=6n então p é múltiplo de 6, logo é múltiplo de 2 e de 3. Como p>6 (porque p>5), isso mostra que p é composto. Portanto r=0 não pode ocorrer para um primo p>5.

Passo 5

Caso r=2.
Se p=6n+2 podemos fatorar:
p = 2(3n+1).
Como 3n+1\ge 2 (porque n\ge 1 quando p>5), isso mostra que p é divisível por 2 e maior que 2, logo é composto. Portanto r=2 é impossível para um primo p>5.

Passo 6

Caso r=4.
Se p=6n+4 então
p = 2(3n+2).
De novo 3n+2\ge 2, logo p é divisível por 2 e maior que 2, portanto composto. Assim r=4 também não pode ocorrer.

Passo 7

Caso r=3.
Se p=6n+3 então
p = 3(2n+1).
Como 2n+1\ge 3 quando n\ge 1 (e para p>5 temos n\ge 1), isso mostra p é divisível por 3 e maior que 3, portanto composto. Logo r=3 é impossível para um primo p>5.

Passo 8

Restam apenas os casos r=1 e r=5.
Portanto, a única possibilidade para um primo p>5 escrito como p=6n+r é que r=1 ou r=5. Em outras palavras,
p = 6n+1 \quad\text{ou}\quad p = 6n+5.
Observação didática importante: isso mostra que todo primo maior que 5 está em uma dessas classes residuais modulo 6. Não significa que todo número da forma 6n+1 ou 6n+5 seja primo (por exemplo 25=6\cdot4+1 é composto).

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • 7=6\cdot1+1 (primo, forma \;6n+1).
  • 11=6\cdot1+5 (primo, forma \;6n+5).
  • 13=6\cdot2+1 (primo, forma \;6n+1).
    Esses exemplos mostram primos reais caindo nas duas formas possíveis.

Resposta

Todo número primo maior que 5 tem a forma 6n+1 ou 6n+5, com n\in\mathbb{N}.

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