2.9- Quantos orbitais individuais existem no terceiro nível de energia de um átomo? Quais são estes orbitais?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas (vou listar para ficarmos claros):
  • Quantos orbitais individuais existem no terceiro nível de energia (ou seja, para n=3)?
  • Quais são esses orbitais?
Informação dada: o nível principal é n=3. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar os números quânticos e o que cada um significa (isso é básico e essencial para contar orbitais):
  • Número quântico principal \,n: indica o nível de energia ( n=1,2,3,\dots). Aqui temos \,n=3.
  • Número quântico azimutal (ou orbital) \,l: determina o tipo de subnível (s, p, d, …). Seus valores permitidos são
l=0,1,2,\dots,n-1.
Cada valor de \,l corresponde a um subnível ( l=0 é s, l=1 é p, l=2 é d, …).
  • Número quântico magnético \,m_l: determina a orientação do orbital dentro de um subnível; seus valores permitidos são
m_l=-l,\; -l+1,\; \dots,\; 0,\; \dots,\; l-1,\; l.
O número de valores possíveis de m_l para um dado l é 2l+1. Cada valor de m_l corresponde a um orbital espacial distinto (por exemplo, os três orbitais p correspondem a m_l=-1,0,+1).
  • Número quântico de spin \,m_s: pode ser +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}. Esses dois valores distinguem os dois spin-orbitais (ou seja, cada orbital espacial pode comportar dois estados de spin distintos).

Passo 3

Como contamos orbitais espaciais do nível n?
Para um dado n somamos, para cada l permitido, o número 2l+1 de orbitais desse subnível. Assim o número total de orbitais espaciais no nível n é
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1).
Vamos simplificar essa soma: escrevendo-a,
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1} l + \sum_{l=0}^{n-1}1.
Sabendo que \sum_{l=0}^{n-1} l = \dfrac{(n-1)n}{2} e \sum_{l=0}^{n-1}1 = n, temos
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)=2\cdot\frac{(n-1)n}{2} + n = n^2.
Portanto, o número de orbitais espaciais no nível n é n^2.

Passo 4

Aplicando para \,n=3:
n^2 = 3^2 = 9.
Isso significa que existem 9 orbitais espaciais no terceiro nível. Agora vamos listar quais são, separando por subnível (uso a notação usual e os correspondentes orientações):
  • Para l=0 (subnível 3s): há 2\cdot0+1=1 orbital
    • 3s.
  • Para l=1 (subnível 3p): há 2\cdot1+1=3 orbitais (correspondentes a m_l=-1,0,+1). Em representação real normalmente escrevemos:
    • 3p_x,\;3p_y,\;3p_z (ou simplesmente os três orbitais 3p).
  • Para l=2 (subnível 3d): há 2\cdot2+1=5 orbitais (correspondentes a m_l=-2,-1,0,+1,+2). Nas formas reais convencionais esses cinco são:
    • 3d_{xy},\;3d_{yz},\;3d_{zx},\;3d_{x^2-y^2},\;3d_{z^2}.
Somando: 1 + 3 + 5 = 9 orbitais espaciais, listados acima.

Passo 5

Agora, se por “orbitais individuais” o enunciado quiser contar estados eletrônicos distintos incluindo o spin (isto é, contar spin-orbitais), então cada orbital espacial aceita dois spins \,m_s=+\tfrac12 e -\tfrac12. O número total de spin-orbitais no nível n é
2n^2.
Para \,n=3 isso dá
2\cdot 3^2 = 18.
Esses 18 seriam os 9 orbitais espaciais listados no Passo 4, cada um com os dois spin possíveis: por exemplo 3s(\uparrow),\,3s(\downarrow),\,3p_x(\uparrow),\,3p_x(\downarrow), etc.

Passo 6

Resumo prático para a prova (memorização útil):
  • Número de orbitais espaciais no nível n: n^2.
  • Numero de orbitais contando spin (spin-orbitais): 2n^2.
    Para n=3: 9 orbitais espaciais e 18 spin-orbitais. Vai dar certo — respira, releia devagar e decora a regra n^2 / 2n^2!

Resposta

9 orbitais espaciais: 3s;\;3p_x,\;3p_y,\;3p_z;\;3d_{xy},\;3d_{yz},\;3d_{zx},\;3d_{x^2-y^2},\;3d_{z^2}.
Contando o spin (spin-orbitais): 18 orbitais individuais (cada um dos 9 acima com m_s=+\tfrac{1}{2} e m_s=-\tfrac{1}{2}).

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