Quantos são os anagramas da palavra ANTICONSTITUCIONALISSIMAMENTE? Quantos começam por vogal?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Quantos anagramas (permutações distintas) tem a palavra “ANTICONSTITUCIONALISSIMAMENTE”.
  • Quantos desses anagramas começam por vogal.
Informações extraídas da palavra (contagem de letras — peguei esses números diretamente da palavra):
  • A palavra tem comprimento 27.
  • As frequências das letras são:
    • \,A:\,3
    • \,N:\,4
    • \,T:\,4
    • \,I:\,5
    • \,C:\,2
    • \,O:\,2
    • \,S:\,3
    • \,U:\,1
    • \,L:\,1
    • \,M:\,1
    • \,E:\,1
As vogais presentes e suas quantidades (útil para a segunda pergunta): \,A:3,\\ I:5,\\ O:2,\\ U:1,\\ E:1. Total de letras vogais =3+5+2+1+1=12.

Passo 2

Conceito que vamos usar (a “fórmula mágica” para anagramas com repetição):
  • Se temos um total de n objetos com grupos repetidos com multiplicidades n_1,n_2,\dots,n_k (ou seja n=n_1+\cdots+n_k), então o número de permutações distintas é a multinomial
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
Explicando por que: sem repetições seriam n! permutações; como dentro de cada grupo de n_j elementos idênticos trocá‑los não gera sequência nova, dividimos por n_j! para cada grupo.
Exemplo pequeno para fixar: para a palavra “AAB” temos n=3, multiplicidades n_A=2,n_B=1, logo número de anagramas é \dfrac{3!}{2!\,1!}=3 (que são “AAB”, “ABA”, “BAA”).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui n=27 e as multiplicidades são as listadas no Passo 1.
    Logo o número total de anagramas é
\frac{27!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!\,1!\,1!\,1!\,1!}.
Como 1!=1, podemos omitir esses fatores 1!. Assim uma forma mais enxuta é
\frac{27!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!}.
Esse valor é o número exato de anagramas distintos da palavra.

Passo 4

Agora: quantos anagramas começam por vogal?
Dois caminhos equivalentes (vou mostrar o mais elegante e o mais “contadinho”):
  • Método direto por simetria (mais simples): todas as posições de uma permutação são simétricas. Se considerarmos todas as anagramas, a fração das palavras cujo primeiro caractere é uma vogal é igual à proporção do total de letras que são vogais no multiconjunto original. Ou seja, a probabilidade de que a primeira posição seja uma vogal é
\frac{\text{número de cópias de vogais}}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}.úó
Portanto o número de anagramas que começam por vogal é \dfrac{4}{9} do total. Usando o resultado do Passo 3:
\text{começam por vogal}=\frac{12}{27}\cdot\frac{27!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!} =\frac{12\cdot 26!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!}.ç
  • Método “soma por tipos” (confere com o anterior): para cada vogal v com multiplicidade m_v o número de anagramas que começam por v é o número de permutações do restante das 26 letras, ou seja
\frac{26!}{(m_v-1)!\prod_{\text{outras letras }w} m_w!}.
Somando sobre v\in\{A,I,O,U,E\} retorna exatamente o mesmo valor obtido por simetria; a conta fica mais trabalhosa mas é equivalente.

Passo 5

Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia-chave é reconhecer repetições e usar a fórmula multinomial; para a segunda parte usar a simetria (fração de vogais) torna a conta muito mais limpa. Se quiser, dá para computar o número inteiro fazendo a divisão de fatoriais com uma calculadora ou software de álgebra, mas as expressões acima são o resultado exato e totalmente aceitáveis em prova.

Resposta

\dfrac{27!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!}
\dfrac{12\cdot 26!}{3!\,4!\,4!\,5!\,2!\,2!\,3!}

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