Quantos são os anagramas da palavra ANTICONSTITUCIONALISSIMAMENTE? Quantos começam por vogal?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Quantos anagramas (permutações distintas) tem a palavra “ANTICONSTITUCIONALISSIMAMENTE”.
- Quantos desses anagramas começam por vogal.
Informações extraídas da palavra (contagem de letras — peguei esses números diretamente da palavra):
- A palavra tem comprimento
. - As frequências das letras são:
-
As vogais presentes e suas quantidades (útil para a segunda pergunta):
. Total de letras vogais
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (a “fórmula mágica” para anagramas com repetição):
- Se temos um total de
objetos com grupos repetidos com multiplicidades (ou seja ), então o número de permutações distintas é a multinomial
Explicando por que: sem repetições seriam
permutações; como dentro de cada grupo de
elementos idênticos trocá‑los não gera sequência nova, dividimos por
para cada grupo.
Exemplo pequeno para fixar: para a palavra “AAB” temos
, multiplicidades
, logo número de anagramas é
(que são “AAB”, “ABA”, “BAA”).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
e as multiplicidades são as listadas no Passo 1.
Logo o número total de anagramas é
Como
, podemos omitir esses fatores
. Assim uma forma mais enxuta é
Esse valor é o número exato de anagramas distintos da palavra.
Passo 4
Agora: quantos anagramas começam por vogal?
Dois caminhos equivalentes (vou mostrar o mais elegante e o mais “contadinho”):
- Método direto por simetria (mais simples): todas as posições de uma permutação são simétricas. Se considerarmos todas as anagramas, a fração das palavras cujo primeiro caractere é uma vogal é igual à proporção do total de letras que são vogais no multiconjunto original. Ou seja, a probabilidade de que a primeira posição seja uma vogal é
Portanto o número de anagramas que começam por vogal é
do total. Usando o resultado do Passo 3:
- Método “soma por tipos” (confere com o anterior): para cada vogal
com multiplicidade o número de anagramas que começam por é o número de permutações do restante das letras, ou seja
Somando sobre
retorna exatamente o mesmo valor obtido por simetria; a conta fica mais trabalhosa mas é equivalente.
Passo 5
Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia-chave é reconhecer repetições e usar a fórmula multinomial; para a segunda parte usar a simetria (fração de vogais) torna a conta muito mais limpa. Se quiser, dá para computar o número inteiro fazendo a divisão de fatoriais com uma calculadora ou software de álgebra, mas as expressões acima são o resultado exato e totalmente aceitáveis em prova.