De quantas maneiras 10 pessoas, sendo 5 adultos e 5 crianças, podem formar uma roda de ciranda, de modo que pessoas da mesma categoria (adulto e criança) não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas maneiras
pessoas — sendo
adultos e
crianças — podem formar uma roda (arranjo circular) tal que pessoas da mesma categoria (dois adultos ou duas crianças) nunca fiquem juntas.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
adultos distintos e crianças distintas. - A posição é em roda (arranjo circular), ou seja, rotações da mesma configuração contam como a mesma disposição.
- A restrição é que nunca haja dois adultos adjacentes nem duas crianças adjacentes.
Passo 2
Entender a implicação da restrição: se não pode haver duas pessoas da mesma categoria juntas e há o mesmo número de adultos e crianças (
e
), a única forma possível é alternar categorias ao redor da roda: adulto, criança, adulto, criança, … até fechar o círculo.
Explicação simples: cada adulto precisa ter crianças em ambos os lados para não ficar junto a outro adulto; como há exatamente o mesmo número de crianças que de adultos, os lugares obrigatoriamente se alternam. Não existe outra configuração possível sem violar a restrição.
Explicação simples: cada adulto precisa ter crianças em ambos os lados para não ficar junto a outro adulto; como há exatamente o mesmo número de crianças que de adultos, os lugares obrigatoriamente se alternam. Não existe outra configuração possível sem violar a restrição.
Passo 3
Escolher um método prático para contar: primeiro fixar a ordem relativa dos adultos ao redor da roda, depois colocar as crianças nos espaços entre adultos. Vou usar a fórmula padrão para permutações circulares: o número de maneiras distintas de dispor
pessoas distintas em um círculo (considerando rotações equivalentes) é
.
Por que ? Intuição: numa roda, apenas a ordem relativa importa; podemos “fixar” uma pessoa como referência (ou seja, rotacionar a roda até pôr uma pessoa num lugar fixo) e permutar as demais livremente, dando
arranjos.
Por que
Passo 4
Aplicar o método aos adultos: há
adultos distintos. O número de ordens circulares distintas dos adultos é
Depois de posicionar os adultos em um círculo, existem exatamente
“lacunas” entre adultos (uma entre cada par de adultos consecutivos) e, pela alternância obrigatória, cada criança deve ocupar uma dessas lacunas. As
crianças distintas podem ser distribuídas nessas
lacunas em
maneiras (simples permutação linear dos
lugares).
Passo 5
Combinar as escolhas (princípio do produto): para cada ordenação circular dos adultos há
ordenações das crianças nos espaços. Assim o total de arranjos válidos é
Calcular numericamente:
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Passo 6
Checagem rápida com um caso menor (intuição): se fossem
adultos e
crianças, a fórmula daria
arranjos, o que bate com a enumeração manual (duas ordens relativas possíveis das crianças entre os adultos), dando mais confiança no método.
Resposta
2880