De quantas maneiras 10 pessoas, sendo 5 adultos e 5 crianças, podem formar uma roda de ciranda, de modo que pessoas da mesma categoria (adulto e criança) não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas maneiras 10 pessoas — sendo 5 adultos e 5 crianças — podem formar uma roda (arranjo circular) tal que pessoas da mesma categoria (dois adultos ou duas crianças) nunca fiquem juntas.
Informações dadas:
  • 5 adultos distintos e 5 crianças distintas.
  • A posição é em roda (arranjo circular), ou seja, rotações da mesma configuração contam como a mesma disposição.
  • A restrição é que nunca haja dois adultos adjacentes nem duas crianças adjacentes.

Passo 2

Entender a implicação da restrição: se não pode haver duas pessoas da mesma categoria juntas e há o mesmo número de adultos e crianças ( 5 e 5), a única forma possível é alternar categorias ao redor da roda: adulto, criança, adulto, criança, … até fechar o círculo.
Explicação simples: cada adulto precisa ter crianças em ambos os lados para não ficar junto a outro adulto; como há exatamente o mesmo número de crianças que de adultos, os lugares obrigatoriamente se alternam. Não existe outra configuração possível sem violar a restrição.

Passo 3

Escolher um método prático para contar: primeiro fixar a ordem relativa dos adultos ao redor da roda, depois colocar as crianças nos espaços entre adultos. Vou usar a fórmula padrão para permutações circulares: o número de maneiras distintas de dispor n pessoas distintas em um círculo (considerando rotações equivalentes) é (n-1)!.
Por que (n-1)!? Intuição: numa roda, apenas a ordem relativa importa; podemos “fixar” uma pessoa como referência (ou seja, rotacionar a roda até pôr uma pessoa num lugar fixo) e permutar as demais livremente, dando (n-1)! arranjos.

Passo 4

Aplicar o método aos adultos: há 5 adultos distintos. O número de ordens circulares distintas dos adultos é
(5-1)!.
Depois de posicionar os adultos em um círculo, existem exatamente 5 “lacunas” entre adultos (uma entre cada par de adultos consecutivos) e, pela alternância obrigatória, cada criança deve ocupar uma dessas lacunas. As 5 crianças distintas podem ser distribuídas nessas 5 lacunas em
5!
maneiras (simples permutação linear dos 5 lugares).

Passo 5

Combinar as escolhas (princípio do produto): para cada ordenação circular dos adultos há 5! ordenações das crianças nos espaços. Assim o total de arranjos válidos é
(5-1)!\times 5!.
Calcular numericamente:
4! = 24,\qquad 5! = 120,
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24\times 120 = 2880.

Passo 6

Checagem rápida com um caso menor (intuição): se fossem 2 adultos e 2 crianças, a fórmula daria (2-1)!\times 2! = 1\times 2 = 2 arranjos, o que bate com a enumeração manual (duas ordens relativas possíveis das crianças entre os adultos), dando mais confiança no método.

Resposta

2880

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