Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
h) que têm p, em primeiro lugar, ou a, em segundo, ou c, em terceiro?
h) que têm p, em primeiro lugar, ou a, em segundo, ou c, em terceiro?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘CAPÍTULO’ que têm
em primeiro lugar, ou
em segundo, ou
em terceiro?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá: \n
Informações relevantes que o enunciado dá: \n
- A palavra “CAPÍTULO” tem
letras: . Todas as letras são distintas (consideramos o diferente das demais).\n - Estamos interessados no número de permutações (anagramas) dessas
letras que satisfazem pelo menos uma das condições: na posição 1, ou na posição 2, ou na posição 3.\n
Passo 2
Primeiro, um conceito útil: o número total de formas de ordenar
objetos distintos é
(fatorial de
). O fatorial é definido por
. Isso porque para a primeira posição temos
escolhas, para a segunda
, e assim por diante.\n
Logo, o número total de anagramas da palavra (sem restrição) é .\n
Logo, o número total de anagramas da palavra (sem restrição) é
Passo 3
Agora vamos contar quantos anagramas têm
em primeiro lugar. Se fixamos
na posição 1, restam
letras livres para permutar nas outras
posições. Portanto o número de anagramas com
na posição 1 é
\n
Calculemos .\n
Calculemos
Passo 4
Pelo mesmo raciocínio de fixar uma posição, o número de anagramas com
em segundo lugar é também
, e o número com
em terceiro lugar é
. (Isso ocorre por simetria: fixar qualquer única posição dá
permutações das letras restantes.)\n
Passo 5
Agora precisamos contar as interseções (quando duas condições ocorrem simultaneamente). Se fixamos duas posições (por exemplo
em primeiro e
em segundo), restam
letras para as
posições restantes, logo o número de anagramas é
\n
Calculemos .\n
As três interseções de pares são: na 1ª e
na 2ª; (
anagramas),
na 1ª e
na 3ª; (
anagramas), e
na 2ª e
na 3ª; (
anagramas). Então cada uma vale
.\n
Calculemos
As três interseções de pares são:
Passo 6
Se as três condições ocorrem ao mesmo tempo (
em 1ª,
em 2ª e
em 3ª), fixamos três posições e restam
letras para permutar nas
posições restantes. Portanto o número de anagramas na interseção tripla é
\n
Calculemos .\n
Calculemos
Passo 7
Para contar quantos anagramas satisfazem “P em 1ª ou A em 2ª ou C em 3ª” usamos o princípio da inclusão-exclusão. Para três propriedades
temos a fórmula\n
\n
Aqui
= “P em 1ª”,
= “A em 2ª”,
= “C em 3ª”. Substituindo os valores que calculamos:\n
Agora fazemos as contas passo a passo:
, então
.\n
Também , então
.\n
E .\n
Também
E
Portanto\n
\n
Resposta
13080