Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
h) que têm p, em primeiro lugar, ou a, em segundo, ou c, em terceiro?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘CAPÍTULO’ que têm p em primeiro lugar, ou a em segundo, ou c em terceiro?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá: \n
  • A palavra “CAPÍTULO” tem 8 letras: C, A, P, Í, T, U, L, OÍ. Todas as 8 letras são distintas (consideramos o ÍÍ diferente das demais).\n
  • Estamos interessados no número de permutações (anagramas) dessas 8 letras que satisfazem pelo menos uma das condições: P na posição 1, ou A na posição 2, ou C na posição 3.\n

Passo 2

Primeiro, um conceito útil: o número total de formas de ordenar n objetos distintos é \;n!\; (fatorial de n). O fatorial é definido por \;n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1\;. Isso porque para a primeira posição temos n escolhas, para a segunda n-1, e assim por diante.\n
Logo, o número total de anagramas da palavra (sem restrição) é \;8!\;=\;8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\;=\;40320.\n

Passo 3

Agora vamos contar quantos anagramas têm P em primeiro lugar. Se fixamos P na posição 1, restam 7 letras livres para permutar nas outras 7 posições. Portanto o número de anagramas com P na posição 1 é \;7!\;.\n
Calculemos \;7!\;=\;7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\;=\;5040.\n

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio de fixar uma posição, o número de anagramas com A em segundo lugar é também \;7!\;=\;5040, e o número com C em terceiro lugar é \;7!\;=\;5040. (Isso ocorre por simetria: fixar qualquer única posição dá (8-1)!=7! permutações das letras restantes.)\n

Passo 5

Agora precisamos contar as interseções (quando duas condições ocorrem simultaneamente). Se fixamos duas posições (por exemplo P em primeiro e A em segundo), restam 6 letras para as 6 posições restantes, logo o número de anagramas é \;6!\;.\n
Calculemos \;6!\;=\;6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\;=\;720.\n
As três interseções de pares são: \;P na 1ª e A na 2ª; ( 6! anagramas), \;P na 1ª e C na 3ª; ( 6! anagramas), e \;A na 2ª e C na 3ª; ( 6! anagramas). Então cada uma vale \;6!\;=\;720.\n

Passo 6

Se as três condições ocorrem ao mesmo tempo ( P em 1ª, A em 2ª e C em 3ª), fixamos três posições e restam 5 letras para permutar nas 5 posições restantes. Portanto o número de anagramas na interseção tripla é \;5!\;.\n
Calculemos \;5!\;=\;5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\;=\;120.\n

Passo 7

Para contar quantos anagramas satisfazem “P em 1ª ou A em 2ª ou C em 3ª” usamos o princípio da inclusão-exclusão. Para três propriedades X,Y,Z temos a fórmula\n |X\cup Y\cup Z| = |X|+|Y|+|Z| - (|X\cap Y|+|X\cap Z|+|Y\cap Z|) + |X\cap Y\cap Z|.\n
Aqui X = “P em 1ª”, Y = “A em 2ª”, Z = “C em 3ª”. Substituindo os valores que calculamos:\n
|X\cup Y\cup Z| = 3\cdot7! - 3\cdot6! + 5!.\n
Agora fazemos as contas passo a passo: \;7! = 5040, então 3\cdot7! = 3\cdot5040 = 15120.\n
Também \;6! = 720, então 3\cdot6! = 3\cdot720 = 2160.\n
E \;5! = 120.\n
Portanto\n |X\cup Y\cup Z| = 15120 - 2160 + 120 = 13080.\n

Resposta

13080

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