QUESTÃO 06

Os vértices de um triângulo representado no sistema de coordenadas cartesianas são \mathrm{A}(0,3), \mathrm{B}(5,-1) e \mathrm{C}(-3,-1). Qual é a medida da área desse triângulo?
A) 8 unidades.
B) 9 unidades.
C) 11 unidades.
D) 15 unidades
E) 16 unidades.

Passo 1

O enunciado fornece os vértices do triângulo e pede a medida da sua área.
Dados fornecidos: A(0,3), B(5,-1) e C(-3,-1).
Pergunta: Qual é a área do triângulo com esses vértices?

Passo 2

Escolha do método: vou usar a fórmula da área como \tfrac{1}{2}\times base \times altura porque os pontos B e C têm a mesma ordenada ( y=-1), então o segmento BC é horizontal — isso torna o cálculo da base e da altura muito simples e direto. Mais abaixo eu faço uma checagem alternativa pelo método do determinante (fórmula do polígono / “shoelace”) para confirmar o resultado.

Passo 3

Cálculo da base BC. A distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Como B(5,-1) e C(-3,-1) têm a mesma ordenada, a diferença de y é zero, logo a distância é simplesmente a diferença das abscissas:
BC = 5 - (-3) = 8.

Passo 4

Cálculo da altura relativa à base BC. A reta que contém BC é a reta horizontal y=-1. A altura é a distância vertical do ponto A(0,3) até essa reta, dada por valor absoluto da diferença das ordenadas:
\text{altura} = |3 - (-1)| = |4| = 4.

Passo 5

Aplicação da fórmula da área do triângulo com base e altura:
\text{Área} = \frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura}.Á
Substituindo \text{base}=8 e \text{altura}=4:
\text{Área} = \frac{1}{2}\times 8 \times 4 = \frac{32}{2} = 16.Á

Passo 6

Checagem pela fórmula do determinante (shoelace). Para vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) a área é
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)\right|.Á
Usando A(0,3), B(5,-1), C(-3,-1):
x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 = 0\cdot(-1) + 5\cdot(-1) + (-3)\cdot 3 = 0 -5 -9 = -14,
y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1 = 3\cdot 5 + (-1)\cdot(-3) + (-1)\cdot 0 = 15 + 3 + 0 = 18,
\text{diferença} = -14 - 18 = -32,\quad |\text{diferença}| = 32,çç
\text{Área} = \frac{1}{2}\times 32 = 16.Á
A checagem confirma o resultado anterior.

Resposta

E) 16 unidades.

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