Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
que começam e terminam por vogal?
que começam e terminam por vogal?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantos são os anagramas da palavra ‘CAPÍTULO’ que começam e terminam por vogal?”\n
Informações dadas e observações que extraí do enunciado:
Informações dadas e observações que extraí do enunciado:
- A palavra é
. - Esta palavra tem
letras no total. - As vogais presentes (cada uma distinta) são
, , e — ou seja, vogais distintas. - As consoantes presentes (cada uma distinta) são
, , e — ou seja, consoantes distintas. - Cada letra deve ser usada exatamente uma vez (anagrama = permutação das
letras). - A restrição é que a primeira letra e a última letra do anagrama sejam vogais.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados com calma):
- Fatorial: para um número natural
, (lê-se “n fatorial”) é o produto
Exemplo rápido:
. Isso conta o número de maneiras de ordenar
objetos distintos.
- Permutações sem repetição: se temos
objetos distintos, o número de ordenações de todos eles é . Se queremos ordenar apenas posições escolhidas em ordem a partir de objetos distintos (sem repetir), o número de escolhas ordenadas é
Exemplo: escolher primeiro e segundo lugar entre
candidatos diferentes dá
.
- Estrutura do problema: como a restrição incide apenas sobre a primeira e a última posições (devem ser vogais), podemos contar quantas maneiras escolher essas duas vogais (ordem importa: qual fica no início e qual no fim) e depois permutar livremente as letras restantes nas posições do meio.
Passo 3
Escolher as vogais para a primeira e a última posição:
- Temos
vogais distintas: . Queremos preencher a posição inicial e a posição final com duas vogais distintas (não podemos repetir a mesma letra). - O número de maneiras ordenadas de escolher essas duas vogais é
Explicação: escolho uma das
vogais para a primeira posição e, depois disso, uma das
vogais restantes para a última posição.
Passo 4
Arranjar as letras restantes no meio:
- Depois de colocar duas vogais nas extremidades, sobram
letras distintas para ocupar as posições intermediárias. - O número de maneiras de permutar
letras distintas é
Explicação: para a primeira das posições do meio há
opções, depois
, depois
, e assim por diante; multiplicando obtemos
.
Passo 5
Combinar as escolhas das extremidades com as permutações do meio:
- Pelo princípio fundamental da contagem, o total de anagramas que começam e terminam por vogal é o produto do número de escolhas das extremidades pelo número de arranjos do meio:
- Calculemos:
Passo 6
Cheque rápido de coerência (apenas para confirmar): o total de permutações sem restrição de
letras distintas é
. A probabilidade de, numa permutação aleatória, as duas extremidades serem vogais é
que também pode ser obtida por
. Isso confere com o nosso resultado.