Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
que começam e terminam por vogal?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantos são os anagramas da palavra ‘CAPÍTULO’ que começam e terminam por vogal?”\n
Informações dadas e observações que extraí do enunciado:
  • A palavra é \text{CAPÍTULO}Í.
  • Esta palavra tem 8 letras no total.
  • As vogais presentes (cada uma distinta) são A, ÍÍ, U e O — ou seja, 4 vogais distintas.
  • As consoantes presentes (cada uma distinta) são C, P, T e L — ou seja, 4 consoantes distintas.
  • Cada letra deve ser usada exatamente uma vez (anagrama = permutação das 8 letras).
  • A restrição é que a primeira letra e a última letra do anagrama sejam vogais.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados com calma):
  • Fatorial: para um número natural n, \,n! (lê-se “n fatorial”) é o produto
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Exemplo rápido: \,3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6. Isso conta o número de maneiras de ordenar 3 objetos distintos.
  • Permutações sem repetição: se temos n objetos distintos, o número de ordenações de todos eles é n!. Se queremos ordenar apenas k posições escolhidas em ordem a partir de n objetos distintos (sem repetir), o número de escolhas ordenadas é
{}_{n}P_{k} = n\cdot (n-1)\cdot \dotsb \cdot (n-k+1).
Exemplo: escolher primeiro e segundo lugar entre 4 candidatos diferentes dá {}_{4}P_{2} = 4\cdot 3 = 12.
  • Estrutura do problema: como a restrição incide apenas sobre a primeira e a última posições (devem ser vogais), podemos contar quantas maneiras escolher essas duas vogais (ordem importa: qual fica no início e qual no fim) e depois permutar livremente as letras restantes nas posições do meio.

Passo 3

Escolher as vogais para a primeira e a última posição:
  • Temos 4 vogais distintas: A,\\ Í,\\ U,\\ OÍ. Queremos preencher a posição inicial e a posição final com duas vogais distintas (não podemos repetir a mesma letra).
  • O número de maneiras ordenadas de escolher essas duas vogais é
{}_{4}P_{2} = 4\cdot 3 = 12.
Explicação: escolho uma das 4 vogais para a primeira posição e, depois disso, uma das 3 vogais restantes para a última posição.

Passo 4

Arranjar as letras restantes no meio:
  • Depois de colocar duas vogais nas extremidades, sobram 8-2=6 letras distintas para ocupar as 6 posições intermediárias.
  • O número de maneiras de permutar 6 letras distintas é
6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 720.
Explicação: para a primeira das posições do meio há 6 opções, depois 5, depois 4, e assim por diante; multiplicando obtemos 6!.

Passo 5

Combinar as escolhas das extremidades com as permutações do meio:
  • Pelo princípio fundamental da contagem, o total de anagramas que começam e terminam por vogal é o produto do número de escolhas das extremidades pelo número de arranjos do meio:
\text{Total} = {}_{4}P_{2}\times 6! = 12 \times 720.
  • Calculemos:
12\times 720 = 12\times (700+20) = 8400 + 240 = 8640.

Passo 6

Cheque rápido de coerência (apenas para confirmar): o total de permutações sem restrição de 8 letras distintas é 8! = 40320. A probabilidade de, numa permutação aleatória, as duas extremidades serem vogais é
\frac{8640}{40320} = \frac{3}{14},
que também pode ser obtida por \frac{4}{8}\cdot\frac{3}{7} = \frac{12}{56}=\frac{3}{14}. Isso confere com o nosso resultado.

Resposta

8640

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