© O código morse usa "palavras"contendo de 1 a 4 “letras”, sendo elas ponto e traço. Quantas "palavras"existem no código morse?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única contagem:
  • As “letras” do código Morse, para este problema, são apenas dois símbolos: ponto e traço. Ou seja, o alfabeto tem exatamente 2 símbolos.
  • Uma “palavra” do código Morse pode ter comprimento 1, 2, 3 ou 4 (ou seja, comprimentos entre 1 e 4 inclusive).
    O que se pede: contar quantas “palavras” diferentes existem com essas regras (ou seja, todas as sequências possíveis de comprimento 1 a 4 formadas por ponto/traço).

Passo 2

Princípio básico de contagem (regra do produto): se uma sequência tem k posições e em cada posição há m escolhas independentes, então o número total de sequências é m^k. Aqui, cada posição pode ser ponto ou traço, logo m=2. Para um comprimento fixo k temos, portanto, 2^k sequências possíveis. Explicando com calma: para a primeira posição existem 2 escolhas; para cada escolha da primeira, para a segunda posição existem 2 escolhas novamente; multiplicando dá 2\cdot2=2^2 para comprimento 2, e assim por diante.

Passo 3

Aplicando isso para cada comprimento permitido:
  • Para comprimento 1 \;2^1=2\; palavras.
  • Para comprimento 2 \;2^2=4\; palavras.
  • Para comprimento 3 \;2^3=8\; palavras.
  • Para comprimento 4 \;2^4=16\; palavras.
    Podemos até exemplificar mentalmente: para k=3 as 8 sequências são todas as possíveis combinações de três símbolos, por exemplo (ponto/ponto/ponto), (ponto/ponto/traço), …, (traço/traço/traço).

Passo 4

Agora somamos todas as palavras de todos os comprimentos permitidos:
\sum_{k=1}^{4} 2^{k} = 2 + 4 + 8 + 16.
Somando passo a passo:
2+4=6,\qquad 6+8=14,\qquad 14+16=30.

Passo 5

Forma geral (fórmula de soma geométrica) — uma maneira rápida e elegante: para r\neq1,
\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r\frac{r^{n}-1}{r-1}.
Aqui r=2 e n=4, logo
\sum_{k=1}^{4}2^{k}=2\frac{2^{4}-1}{2-1}=2(16-1)=2\cdot15=30.
Outra forma equivalente é usar \sum_{k=0}^{4}2^{k}=2^{5}-1 e subtrair o termo k=0 (que é 1), obtendo 2^{5}-1-1=32-2=30.

Passo 6

Verificação rápida por intuição: o número 30 faz sentido porque o conjunto de todas as sequências de até 4 bits (0/1) sem a sequência vazia tem tamanho 2+4+8+16; é uma quantidade pequena e fácil de conferir com listagem curta se necessário. Está tudo coerente.

Resposta

30

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