Quantos são os anagramas da palavra “PRÁTICO”?

Passo 1

O que o problema pede e as informações dadas.
  • Pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘PRÁTICO’?” — ou seja, quantas palavras distintas (ordens diferentes das letras) podem ser formadas usando todas as letras da palavra.
  • Informações da palavra: as letras são P, R, Á, T, I, C, OÁ.
  • Observação importante: cada uma dessas letras aparece exatamente uma vez — não há letras repetidas (o acento em \,ÁÁ faz dessa letra distinta de um A sem acento).

Passo 2

Conceito que vamos usar: permutações de n elementos distintos.
  • Quando temos n objetos todos diferentes e queremos contar todas as ordens possíveis de colocá‑los (permutação), o número de ordens é dado pelo fatorial de n, que se escreve \,n!.
  • Definição de fatorial: \,n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.
  • Motivação intuitiva: para formar uma palavra com n posições, escolhemos uma das n letras para a 1ª posição, depois uma das n-1 restantes para a 2ª, e assim por diante; multiplicando essas quantidades obtemos n!.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto.
  • Aqui n=7 porque a palavra tem 7 letras ( P,R,Á,T,I,C,OÁ).
  • Portanto o número de anagramas é \,7!.

Passo 4

Cálculo explícito de \,7! passo a passo (para você conseguir fazer sem calculadora):
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1
Agora multiplicando em passos pequenos:
7\cdot6 = 42
42\cdot5 = 210
210\cdot4 = 840
840\cdot3 = 2520
2520\cdot2 = 5040
5040\cdot1 = 5040

Passo 5

Interpretação e conclusão didática.
  • Como não há letras repetidas, não precisamos dividir por fatoriais de repetições; o número total é exatamente \,7!.
  • Resultado: existem 5040 anagramas distintos da palavra “PRÁTICO”.
  • Dica prática para a prova: sempre verifique primeiro se há letras repetidas. Se houver, use a fórmula geral para permutações de multiconjunto:
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},
onde n é o total de letras e n_i são as multiplicidades das letras repetidas. No nosso caso todos n_i=1, então dá só n!.

Resposta

5040

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