Quantos são os anagramas da palavra REPÚBLICA em que todas as vogais permanecem no lugar original e todas as consoantes não?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • A palavra é REPÚBLICA (letras: R, E, P, \acute{U}, B, L, I, C, \acute{A}), total de 9 letras.
  • As vogais, e suas posições na palavra, são:
    • E na posição 2,
    • \acute{U} na posição 4,
    • I na posição 7,
    • \acute{A} na posição 9.
      Ou seja, há 4 vogais e elas devem permanecer exatamente nessas posições.
  • As consoantes, e suas posições, são:
    • R na posição 1,
    • P na posição 3,
    • B na posição 5,
    • L na posição 6,
    • C na posição 8.
      Ou seja, há 5 consoantes e o enunciado exige que nenhuma consoante fique em sua posição original.
  • O problema pede: contar quantos anagramas (rearranjos das letras) satisfazem que todas as vogais permaneçam em seus lugares originais e todas as consoantes NÃO permaneçam em seus lugares originais.

Passo 2

Interpretação do que precisamos contar (estratégia sem cálculos ainda).
  • Como as 4 vogais têm de ficar fixas nas posições 2,4,7,9, essas posições não participam de nenhuma troca: elas permanecem iguais em todo anagrama válido.
  • As únicas mudanças possíveis ocorrem entre as 5 posições reservadas às consoantes ( 1,3,5,6,8). Precisamos permutar as 5 consoantes entre essas 5 posições.
  • A condição adicional é que nenhuma consoante pode ficar na sua posição original. Esse é exatamente o problema clássico de contar permutações sem pontos fixos (permutações cujo número de pontos fixos é zero), também chamadas derangements (desarranjos).
  • Portanto, o número pedido é igual ao número de derangements de 5 objetos (as 5 consoantes).

Passo 3

Explicando o conceito e a ferramenta que vamos usar: princípio da inclusão-exclusão para derangements.
  • Definição informal: um derangement de n objetos é uma permutação dos n objetos em que nenhum objeto fica em sua posição original.
  • Uma forma clássica de contar derangements é usar o princípio da inclusão-exclusão. A ideia é:
    • Começar contando todas as permutações possíveis de n objetos: n!.
    • Subtrair as permutações que têm pelo menos 1 ponto fixo, mas isso conta demais, então devemos ajustar adicionando as permutações que têm pelo menos 2 pontos fixos, e assim por diante, com sinais alternados.
  • Formalmente, o número de derangements de n objetos é !n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(n-k)!.Aqui:
    • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k posições estarão fixas,
    • (n-k)! é o número de permutações dos restantes n-k elementos,
    • o fator (-1)^k vem do ajuste do princípio da inclusão-exclusão.

Passo 4

Aplicando a fórmula de inclusão-exclusão para n=5 (calcular passo a passo).
Usamos a fórmula
!5=\sum_{k=0}^{5}(-1)^k\binom{5}{k}(5-k)!.
Calculemos termo a termo (cada quantidade será escrita e simplificada):
  • Para k=0: (-1)^0\binom{5}{0}(5-0)! = 1\cdot 1\cdot 5! = 1\cdot 1\cdot 120 = 120.
  • Para k=1: (-1)^1\binom{5}{1}(5-1)! = -1\cdot 5\cdot 4! = -5\cdot 24 = -120.
  • Para k=2: (-1)^2\binom{5}{2}(5-2)! = 1\cdot 10\cdot 3! = 10\cdot 6 = 60.
  • Para k=3: (-1)^3\binom{5}{3}(5-3)! = -1\cdot 10\cdot 2! = -10\cdot 2 = -20.
  • Para k=4: (-1)^4\binom{5}{4}(5-4)! = 1\cdot 5\cdot 1! = 5\cdot 1 = 5.
  • Para k=5: (-1)^5\binom{5}{5}(5-5)! = -1\cdot 1\cdot 0! = -1\cdot 1\cdot 1 = -1.

Passo 5

Somando os termos obtidos para encontrar !5.
  • Agora somamos os valores calculados: !5 = 120 - 120 + 60 - 20 + 5 - 1.
  • Agrupando e simplificando passo a passo: 120 - 120 = 0,
0 + 60 = 60,
60 - 20 = 40,
40 + 5 = 45,
45 - 1 = 44.
  • Portanto, o número de derangements de 5 objetos é !5=44.

Resposta

44

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