Quantos são os anagramas da palavra REPÚBLICA em que todas as vogais permanecem no lugar original e todas as consoantes não?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- A palavra é
REPÚBLICA (letras: ), total de letras. - As vogais, e suas posições na palavra, são:
-
na posição , -
na posição , -
na posição , -
na posição .
Ou seja, hávogais e elas devem permanecer exatamente nessas posições.
-
- As consoantes, e suas posições, são:
-
na posição , -
na posição , -
na posição , -
na posição , -
na posição .
Ou seja, háconsoantes e o enunciado exige que nenhuma consoante fique em sua posição original.
-
- O problema pede: contar quantos anagramas (rearranjos das letras) satisfazem que todas as vogais permaneçam em seus lugares originais e todas as consoantes NÃO permaneçam em seus lugares originais.
Passo 2
Interpretação do que precisamos contar (estratégia sem cálculos ainda).
- Como as
vogais têm de ficar fixas nas posições , essas posições não participam de nenhuma troca: elas permanecem iguais em todo anagrama válido. - As únicas mudanças possíveis ocorrem entre as
posições reservadas às consoantes ( ). Precisamos permutar as consoantes entre essas posições. - A condição adicional é que nenhuma consoante pode ficar na sua posição original. Esse é exatamente o problema clássico de contar permutações sem pontos fixos (permutações cujo número de pontos fixos é zero), também chamadas derangements (desarranjos).
- Portanto, o número pedido é igual ao número de derangements de
objetos (as consoantes).
Passo 3
Explicando o conceito e a ferramenta que vamos usar: princípio da inclusão-exclusão para derangements.
- Definição informal: um derangement de
objetos é uma permutação dos objetos em que nenhum objeto fica em sua posição original. - Uma forma clássica de contar derangements é usar o princípio da inclusão-exclusão. A ideia é:
- Começar contando todas as permutações possíveis de
objetos: . - Subtrair as permutações que têm pelo menos
ponto fixo, mas isso conta demais, então devemos ajustar adicionando as permutações que têm pelo menos pontos fixos, e assim por diante, com sinais alternados.
- Começar contando todas as permutações possíveis de
- Formalmente, o número de derangements de
objetos é Aqui: -
é o número de maneiras de escolher quais posições estarão fixas, -
é o número de permutações dos restantes elementos, - o fator
vem do ajuste do princípio da inclusão-exclusão.
-
Passo 4
Aplicando a fórmula de inclusão-exclusão para
(calcular passo a passo).
Usamos a fórmula
Calculemos termo a termo (cada quantidade será escrita e simplificada):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Somando os termos obtidos para encontrar
.
- Agora somamos os valores calculados:
- Agrupando e simplificando passo a passo:
- Portanto, o número de derangements de
objetos é .