Escolhendo-se simultaneamente quatro cartas de um baralho comum, determine:
de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas;

Passo 1

O enunciado pede: de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas quando se escolhem simultaneamente quatro cartas de um baralho comum.
Informações relevantes dadas (e que sei sobre o baralho):
  • Um baralho comum tem 52 cartas no total.
  • Cada naipe (copas, paus, ouros, espadas) tem 13 cartas.
  • A escolha é simultânea de 4 cartas, isto é, a ordem em que as cartas são escolhidas não importa (um conjunto de 4 cartas).

Passo 2

Entendendo o problema em palavras: queremos contar quantos subconjuntos diferentes de 4 cartas podemos formar usando apenas as 13 cartas de copas. Como a ordem não importa (escolhemos simultaneamente), cada conjunto de 4 copas é contado uma única vez. Portanto precisamos de uma contagem de seleções sem ordem, isto é, combinações.

Passo 3

Apresentando a fórmula que usamos para contar seleções sem ordem (combinações):
Se temos n objetos distintos e queremos escolher k deles sem nos importar com a ordem, o número de seleções é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Explicando as variáveis: n é o total de objetos disponíveis, k é o número de objetos a escolher. A divisão por k!(n-k)! remove as permutações repetidas que surgiriam se considerássemos ordem.
Exemplo pequeno para fixar: escolher 2 de 3 elementos dá
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=\frac{6}{2}=3,
que são exatamente os três subconjuntos de tamanho 2.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui n=13 (as 13 cartas de copas) e k=4. Logo
\binom{13}{4}=\frac{13!}{4!\,9!}.
Para calcular isso é prático cancelar o 9! no numerador:
\binom{13}{4}=\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 9!} =\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.

Passo 5

Simplificando a fração passo a passo (para não ter que fazer multiplicações enormes):
  • 4 divide 12, dando 12/4=3.
  • 2 divide 10, dando 10/2=5.
  • O 3 do denominador divide o 3 que sobrou (do 12/4), dando 1.
Depois dessas simplificações sobram no numerador os fatores 13, 11 e 5. Assim
\binom{13}{4}=13\cdot 11\cdot 5.
Calculando:
13\cdot 11=143,\qquad 143\cdot 5=715.

Passo 6

Comentário alternativo rápido (mesma ideia, só visto de outro ângulo): se contássemos ordens diferentes teríamos 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10 sequências (permutações), e como cada conjunto de 4 aparece em 4! ordens diferentes, dividimos por 4! e obtemos o mesmo resultado 715.

Passo 7

Interpretação final: existem \,715 formas distintas de escolher simultaneamente quatro cartas de copas de um baralho comum. Força aí — cai essa questão na prova e já sabe como justificar!

Resposta

\,715

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