Escolhendo-se simultaneamente quatro cartas de um baralho comum, determine:
de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas;
de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas;
Passo 1
O enunciado pede: de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas quando se escolhem simultaneamente quatro cartas de um baralho comum.
Informações relevantes dadas (e que sei sobre o baralho):
Informações relevantes dadas (e que sei sobre o baralho):
- Um baralho comum tem
cartas no total. - Cada naipe (copas, paus, ouros, espadas) tem
cartas. - A escolha é simultânea de
cartas, isto é, a ordem em que as cartas são escolhidas não importa (um conjunto de cartas).
Passo 2
Entendendo o problema em palavras: queremos contar quantos subconjuntos diferentes de
cartas podemos formar usando apenas as
cartas de copas. Como a ordem não importa (escolhemos simultaneamente), cada conjunto de
copas é contado uma única vez. Portanto precisamos de uma contagem de seleções sem ordem, isto é, combinações.
Passo 3
Apresentando a fórmula que usamos para contar seleções sem ordem (combinações):
Se temos objetos distintos e queremos escolher
deles sem nos importar com a ordem, o número de seleções é dado pelo coeficiente binomial
Se temos
onde
(fatorial de
) significa
.
Explicando as variáveis: é o total de objetos disponíveis,
é o número de objetos a escolher. A divisão por
remove as permutações repetidas que surgiriam se considerássemos ordem.
Explicando as variáveis:
Exemplo pequeno para fixar: escolher
de
elementos dá
que são exatamente os três subconjuntos de tamanho
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
(as
cartas de copas) e
. Logo
Para calcular isso é prático cancelar o
no numerador:
Passo 5
Simplificando a fração passo a passo (para não ter que fazer multiplicações enormes):
-
divide , dando . -
divide , dando . - O
do denominador divide o que sobrou (do ), dando .
Depois dessas simplificações sobram no numerador os fatores
,
e
. Assim
Calculando:
Passo 6
Comentário alternativo rápido (mesma ideia, só visto de outro ângulo): se contássemos ordens diferentes teríamos
sequências (permutações), e como cada conjunto de
aparece em
ordens diferentes, dividimos por
e obtemos o mesmo resultado
.
Passo 7
Interpretação final: existem
formas distintas de escolher simultaneamente quatro cartas de copas de um baralho comum. Força aí — cai essa questão na prova e já sabe como justificar!