Escolhendo-se simultaneamente quatro cartas de um baralho comum, determine:
de quantos modos distintos é possível escolher quatro ases.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: um baralho comum com 52 cartas.
  • Dado: existem 4 ases nesse baralho.
  • Pergunta: ao escolher simultaneamente 4 cartas, de quantos modos distintos é possível escolher quatro ases?
Observação importante (só identificação do pedido): a escolha é simultânea, ou seja, a ordem das cartas não importa — estamos contando subconjuntos de cartas.

Passo 2

Entendendo o problema em termos de contagem: queremos contar de quantas maneiras diferentes se pode formar um conjunto de 4 cartas que contenha exatamente os quatro ases (isto é, escolher as 4 cartas dentre as 4 disponíveis que são ases). Esse é um problema de combinatória simples: escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem considerar ordem.
A fórmula padrão para o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos (combinação) é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é definido como
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1,
e por convenção 0!=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui n=\;4 (as 4 cartas que são ases) e k=\;4 (queremos escolher 4 cartas — todas ases). Portanto o número de modos é
\binom{4}{4}=\frac{4!}{4!0!}.

Passo 4

Calculemos passo a passo o valor de \binom{4}{4}. Sabendo que 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24 e 0!=1, temos
\binom{4}{4}=\frac{24}{24\cdot1}=1.
Interpretação intuitiva: como só existem exatamente \;4 ases no baralho, a única forma de obter uma mão de 4 cartas contendo apenas ases é pegar todas as quatro — isso gera exatamente uma combinação distinta. (Se a ordem importasse, haveria \;4! permutações, mas aqui a escolha é simultânea e a ordem não importa.)

Resposta

\;1

Exercícios relacionados