Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm as letras \mathrm{R}, \mathrm{E}, \mathrm{S} juntas nesta ordem?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra \mathrm{RESIDUO} têm as letras \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S} juntas e exatamente nessa ordem. Informações dadas:
  • A palavra é formada pelas letras \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S},\mathrm{I},\mathrm{D},\mathrm{U},\mathrm{O}.
  • O total de letras é 7.
  • As letras são todas distintas.
  • A restrição é que as três letras \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S} apareçam juntas e na ordem \mathrm{R} seguido de \mathrm{E} seguido de \mathrm{S}.

Passo 2

Conceito útil: o número de permutações de n objetos distintos é dado por n! (lê-se “ n fatorial”), onde
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo rápido: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 3

Método principal (agrupamento em bloco): como \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S} devem ficar juntos e na ordem fixa \mathrm{RES}, podemos tratar esse trio como um único “bloco” indivisível. Além desse bloco, restam as letras \mathrm{I},\mathrm{D},\mathrm{U},\mathrm{O} — ou seja, temos no total 1 bloco + 4 letras soltas =5 objetos distintos para permutar.

Passo 4

O número de maneiras de permutar esses 5 objetos distintos é
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 5

Verificação do interior do bloco: dentro do bloco as letras devem aparecer na ordem \mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{S} — essa ordem está fixa, portanto o bloco tem apenas 1 arranjo interno permitido. (Se a ordem dentro do bloco fosse livre, haveria 3! arranjos; aqui não é o caso.)

Passo 6

Conclusão combinando os fatores: número total de anagramas com \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S} juntas e nessa ordem é
5!\times 1 = 120.

Passo 7

Checagem alternativa (mesma resposta por outro raciocínio): escolher a posição inicial do bloco de comprimento 3 numa sequência de 7 letras tem 7-3+1=5 opções; para cada escolha, os outros 4 lugares podem ser preenchidos pelas 4 letras restantes de 4! maneiras. Logo 5\cdot4! = 5\cdot24 = 120, coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

120

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