Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm a letra R no 1^{\mathrm{O}} lugar e a letra E no 2^{\mathrm{O}} lugar?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra RESIDUO têm a letra R no 1^{\mathrm{O}} lugar e a letra E no 2^{\mathrm{O}} lugar.
Informações dadas e extraídas do enunciado:
  • A palavra é “RESIDUO”.
  • As letras presentes são R, E, S, I, D, U, O.
  • Queremos só os anagramas em que a posição 1 contém R e a posição 2 contém E.

Passo 2

Contar quantos símbolos distintos temos. Listando as letras: R, E, S, I, D, U, O. Cada uma aparece uma única vez (não há letras repetidas nesta palavra). Logo o total de letras distintas é \,7\,.

Passo 3

Regra básica (explicação didática): se temos n objetos distintos e queremos formar uma sequência com todos eles, o número de sequências possíveis (permutações) é
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1,
onde o símbolo ! chama-se fatorial. Aqui cada termo representa o número de escolhas disponíveis para cada posição ao montar a sequência: para a primeira posição temos n escolhas, depois n-1, etc. Exemplo simples: para as letras A,B,C ( n=3) o total de permutações é 3!=3\cdot2\cdot1=6.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema com restrição de posições fixas: fixar R na posição 1 e E na posição 2 elimina a liberdade de escolher essas duas posições (cada uma delas está determinada de uma única forma). Pelo princípio multiplicativo, o número de anagramas que satisfazem as restrições é o número de maneiras de permutar as letras restantes nas posições restantes. Temos no total \,7\, letras e já fixamos \,2\, delas, então restam \,7-2=5\, letras a serem permutadas livremente nas 5 posições restantes. Assim o número procurado é
(7-2)! = 5!.

Passo 5

Calcular explicitamente 5!:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Uma verificação intuitiva: para a terceira posição há 5 escolhas (as cinco letras restantes), para a quarta 4 escolhas, depois 3,2,1; multiplicando dá 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.

Resposta

120

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