Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm as letras
juntas em qualquer ordem?
que têm as letras
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra
têm as letras
,
e
juntas (isto é, aparecendo em posições consecutivas), em qualquer ordem entre si.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A palavra
tem letras no total. - Todas as letras são diferentes (não há repetições).
- A condição é que as letras
, e ocupem três posições consecutivas na palavra.
Passo 2
Vou lembrar um conceito chave: permutações de objetos distintos.
- Se temos
objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los é o fatorial , definido como
Exemplo rápido:
.
Isso conta todas as ordens possíveis quando os objetos são distintos.
Isso conta todas as ordens possíveis quando os
Passo 3
Método do bloco (ideia central): quando exigimos que algumas letras fiquem juntas, podemos tratá-las temporariamente como um único “bloco”.
- Aqui, queremos que
, , fiquem consecutivas. Então imagina-se um bloco que se comporta como um único objeto. - Além desse bloco, restam as outras
letras: , , , . - Assim temos no total
objetos distintos para ordenar: o bloco e as letras restantes.
Passo 4
Contando as ordens dos objetos “externos” ao bloco:
- O número de maneiras de arranjar esses
objetos distintos é
Isso conta todas as posições possíveis do bloco entre as outras letras.
Passo 5
Agora considerar as ordens internas do bloco:
- Dentro do bloco as letras
, , podem aparecer em qualquer ordem entre si, ou seja, em maneiras:
Passo 6
Aplicando o princípio multiplicativo (se há
maneiras de fazer uma coisa e para cada uma delas
maneiras de fazer outra, o total é
):
- Total de anagramas com
juntos:
Passo 7
Checagem rápida por intuição: o total de anagramas sem restrição é
. A fração dos anagramas com as três letras juntas é
. Faz sentido: dentre todas as posições possíveis para as três letras consecutivas, proporcionalmente obtém-se esse valor. (A checagem é só para dar confiança no resultado.)