Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm as letras \mathrm{R}, \mathrm{E}, \mathrm{S} juntas em qualquer ordem?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra \text{RESIDUO} têm as letras \mathrm{R}, \mathrm{E} e \mathrm{S} juntas (isto é, aparecendo em posições consecutivas), em qualquer ordem entre si.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A palavra \text{RESIDUO} tem 7 letras no total.
  • Todas as letras são diferentes (não há repetições).
  • A condição é que as letras \mathrm{R}, \mathrm{E} e \mathrm{S} ocupem três posições consecutivas na palavra.

Passo 2

Vou lembrar um conceito chave: permutações de objetos distintos.
  • Se temos n objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los é o fatorial n!, definido como
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo rápido: 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
Isso conta todas as ordens possíveis quando os n objetos são distintos.

Passo 3

Método do bloco (ideia central): quando exigimos que algumas letras fiquem juntas, podemos tratá-las temporariamente como um único “bloco”.
  • Aqui, queremos que \mathrm{R}, \mathrm{E}, \mathrm{S} fiquem consecutivas. Então imagina-se um bloco \{\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{S}\} que se comporta como um único objeto.
  • Além desse bloco, restam as outras 4 letras: \mathrm{I}, \mathrm{D}, \mathrm{U}, \mathrm{O}.
  • Assim temos no total 5 objetos distintos para ordenar: o bloco \{\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{S}\} e as 4 letras restantes.

Passo 4

Contando as ordens dos objetos “externos” ao bloco:
  • O número de maneiras de arranjar esses 5 objetos distintos é
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Isso conta todas as posições possíveis do bloco entre as outras letras.

Passo 5

Agora considerar as ordens internas do bloco:
  • Dentro do bloco as letras \mathrm{R}, \mathrm{E}, \mathrm{S} podem aparecer em qualquer ordem entre si, ou seja, em 3! maneiras:
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 6

Aplicando o princípio multiplicativo (se há A maneiras de fazer uma coisa e para cada uma delas B maneiras de fazer outra, o total é A\cdot B):
  • Total de anagramas com \mathrm{R},\mathrm{E},\mathrm{S} juntos:
5!\times 3! = 120\times 6 = 720.

Passo 7

Checagem rápida por intuição: o total de anagramas sem restrição é 7! = 5040. A fração dos anagramas com as três letras juntas é \dfrac{720}{5040}=\dfrac{1}{7}. Faz sentido: dentre todas as posições possíveis para as três letras consecutivas, proporcionalmente obtém-se esse valor. (A checagem é só para dar confiança no resultado.)

Resposta

\,720

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