Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 aparece pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos são os números naturais de \,7\, dígitos em que o dígito \,4\, aparece pelo menos \,3\, vezes e o dígito \,8\, aparece pelo menos \,2\, vezes.
Informações relevantes dadas:
  • Estamos tratando de números de exatamente \,7\, dígitos (ou seja, o primeiro dígito não pode ser \,0\,).
  • Cada posição do número pode conter um dígito de \,0 a \,9, sujeito à restrição do primeiro dígito.
  • As condições sobre ocorrências são:
    • o dígito \,4\, aparece em pelo menos \,3\, posições do total de \,7\,;
    • o dígito \,8\, aparece em pelo menos \,2\, posições do total de \,7\,.
O que precisamos devolver: a quantidade total de números de \,7\, dígitos que satisfazem simultaneamente essas duas restrições.

Passo 2

Plano de contagem (sem começar a calcular ainda): vamos dividir os números conforme o que ocorre no primeiro dígito, porque o primeiro dígito não pode ser \,0\, e isso afeta a contagem. Há três tipos possíveis para o primeiro dígito:
  • é \,4\,;
  • é \,8\,;
  • é outro dígito não nulo e diferente de \,4 e \,8 (há exatamente \,7\, dessas opções: \,1,2,3,5,6,7,9\,).
Para cada caso, contamos quantas sequências para as outras \,6\, posições (posições \,2 a \,7) satisfazem as ocorrências mínimas restantes de \,4 e \,8. Ou seja, se o primeiro dígito for um \,4\,, então nas \,6\, posições restantes precisamos de pelo menos \,2\, vezes o dígito \,4 e pelo menos \,2\, vezes o dígito \,8, etc.
Para contar sequências das \,6\, posições com restrições "ao menos r_4 vezes o dígito \,4" e "ao menos r_8 vezes o dígito \,8", usaremos combinatória básica: para contar sequências com número exato de ocorrências usamos escolhas de posições ( \binom{6}{k}) e preenchimento das posições restantes com opções permitidas; e, para tratar as condições “ao menos”, usaremos o princípio da inclusão-exclusão (contar total sem restrição menos os que violam pelo menos uma restrição, ajustando interseções).

Passo 3

Relembrando os conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • Contar sequências de comprimento \,n\, sobre um alfabeto de \,m\, símbolos sem restrição dá m^n sequências. Aqui, para \,6\, posições e todos os dígitos \,0 a \,9 disponíveis, o total sem restrição é \,10^6\,.
  • Para exigir que um dígito apareça exatamente \,k\, vezes numa sequência de \,6\, posições: escolhemos as \,k\, posições para esse dígito ( \binom{6}{k} maneiras) e preenchermos as outras \,6-k\, posições com quaisquer dígitos dos restantes permitidos.
  • Para uma condição "ao menos \,r\," podemos utilizar inclusão-exclusão: o número de sequências que satisfazem ambas as condições "ao menos \,r_4 de \,4\," e "ao menos \,r_8 de \,8\," é
\text{Total} - \#(\text{falha em 4}) - \#(\text{falha em 8}) + \#(\text{falha em 4 e em 8}).
Aqui “falha em 4” significa ter menos que \,r_4\, ocorrências de \,4, etc.
Vou aplicar esse procedimento explicitamente para cada um dos três casos do primeiro dígito.

Passo 4

Caso A: o primeiro dígito é \,4\,.
  • Contagem de escolhas para o primeiro dígito: \,1\, (apenas o dígito \,4\,).
  • Nas \,6\, posições restantes precisamos de pelo menos \,2\, ocorrências de \,4 (pois já temos uma no início) e pelo menos \,2\, ocorrências de \,8.
  • Notação: r_4=2, r_8=2.
  • Total de sequências possíveis para as \,6\, posições sem restrição: \,10^6\,.
  • Contar quantas falham em ter pelo menos \,2\, vezes o \,4: isto é, têm \,0\, ou \,1\, ocorrências de \,4.
    • Sem nenhum \,4: cada posição entre \,6\, escolhe um dos \,9\, outros dígitos \Rightarrow 9^6.
    • Exatamente um \,4: \binom{6}{1}\cdot 9^{5}.
    • Logo \#(\text{falha em 4}) = 9^6 + \binom{6}{1}9^5.
  • Pelo mesmo raciocínio, \#(\text{falha em 8}) = 9^6 + \binom{6}{1}9^5.
  • Agora a interseção: falha em 4 e em 8 ao mesmo tempo significa ter no máximo \,1\, vez o \,4 e no máximo \,1\, vez o \,8. Vamos somar os casos exatos (r_4,r_8)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
    • Para (0,0): nenhum 4 nem 8 → cada posição tem \,8\, opções → 8^6.
    • Para (0,1): exatamente um 8 e nenhum 4 → \binom{6}{1}8^5.
    • Para (1,0): exatamente um 4 e nenhum 8 → \binom{6}{1}8^5.
    • Para (1,1): exatamente um 4 e exatamente um 8 → \binom{6}{1}\binom{5}{1}8^4.
    • Soma para a interseção: \#(\text{falha em 4 e em 8}) = 8^6 + 2\binom{6}{1}8^5 + \binom{6}{1}\binom{5}{1}8^4.
  • Agora números concretos (vou calcular passo a passo):
    • 10^6 = 1\,000\,000.
    • 9^6 = 531\,441.
    • 9^5 = 59\,049.
    • 8^6 = 262\,144.
    • 8^5 = 32\,768.
    • 8^4 = 4\,096.
    • \binom{6}{1}=6, \binom{5}{1}=5.
  • Substituindo:
    • \#(\text{falha em 4}) = 531\,441 + 6\cdot59\,049 = 531\,441 + 354\,294 = 885\,735.
    • \#(\text{falha em 8}) = 885\,735 (mesmo valor).
    • \#(\text{falha em 4 e em 8}) = 262\,144 + 2\cdot(6\cdot32\,768) + (6\cdot5\cdot4\,096).
      • 6\cdot32\,768 = 196\,608, então 2\cdot196\,608 = 393\,216.
      • 6\cdot5\cdot4\,096 = 30\cdot4\,096 = 122\,880.
      • Soma = 262\,144 + 393\,216 + 122\,880 = 778\,240.
  • Aplicando inclusão-exclusão: N_{\text{tail}}^{(A)} = 10^6 - 885\,735 - 885\,735 + 778\,240 = 6\,770.
  • Como o primeiro dígito foi fixo como \,4\, de \,1\, maneira, a contribuição do Caso A é \,6\,770\, números.

Passo 5

Caso B: o primeiro dígito é \,8\,.
  • Primeiro dígito: \,1\, escolha (o dígito \,8\,).
  • Nas \,6\, posições restantes precisamos de pelo menos \,3\, ocorrências de \,4 (pois nenhuma delas já foi usada no início) e pelo menos \,1\, ocorrência de \,8 (já usamos uma no início, faltando ao menos mais uma).
  • Notação: r_4=3, r_8=1.
  • Total sem restrição: 10^6.
  • Falha em 4 (ter menos que \,3\, vezes o \,4): isso é ter 0,1 ou 2 ocorrências de \,4. Para cada caso, as outras posições vêm de \,9\, dígitos (excluindo o \,4), então \#(\text{falha em 4}) = \sum_{k=0}^{2} \binom{6}{k} 9^{6-k}.Calculamos esse somatório antes: 9^6 + \binom{6}{1}9^5 + \binom{6}{2}9^4.
  • Falha em 8 (ter menos que \,1\, vez o \,8): isto é, ter zero ocorrências de \,8 nas \,6\, posições → 9^6 sequências (cada posição entre os outros \,9\, dígitos).
  • Interseção (falha em 4 e em 8): então não há \,8 e o número de \,4s é \le 2. Com \,8 proibido, cada posição tem \,9\, opções? Não: com \,8 proibido, as opções são os \,9\, dígitos restantes, mas ao contar variações de \,4 usamos as demais \,8\, opções (excluindo 4 e 8 fica \,8\, opções). Assim \#(\text{falha em 4 e em 8}) = \sum_{k=0}^{2} \binom{6}{k} 8^{6-k}.
  • Valores já calculados ou fáceis:
    • 9^6 = 531\,441, 9^5 = 59\,049, 9^4 = 6\,561.
    • \binom{6}{2}=15.
    • 8^6 = 262\,144, 8^5 = 32\,768, 8^4 = 4\,096.
  • Calcule \#(\text{falha em 4}): 9^6 + 6\cdot9^5 + 15\cdot9^4 = 531\,441 + 354\,294 + 98\,415 = 984\,150.
  • \#(\text{falha em 8}) = 531\,441.
  • \#(\text{falha em 4 e em 8}) = 8^6 + 6\cdot8^5 + 15\cdot8^4 = 262\,144 + 196\,608 + 61\,440 = 520\,192.
  • Inclusão-exclusão: N_{\text{tail}}^{(B)} = 10^6 - 984\,150 - 531\,441 + 520\,192 = 4\,601.
  • Multiplicando pela escolha do primeiro dígito ( \,1\, maneira), a contribuição do Caso B é \,4\,601\, números.

Passo 6

Caso C: o primeiro dígito é outro não-nulo diferente de \,4\, e \,8 (há \,7\, escolhas: \,1,2,3,5,6,7,9\,).
  • Primeiro dígito: \,7\, escolhas.
  • Nas \,6\, posições restantes precisamos de pelo menos \,3\, ocorrências de \,4 e pelo menos \,2\, ocorrências de \,8.
  • Notação: r_4=3, r_8=2.
  • Total sem restrição para as \,6\, posições: 10^6.
  • Falha em 4 (menos que \,3 vezes o \,4): como no Caso B, \#(\text{falha em 4}) = 984\,150.
  • Falha em 8 (menos que \,2 vezes o \,8): como no Caso A, \#(\text{falha em 8}) = 885\,735.
  • Interseção (falha em 4 e em 8): isto é, \,r_4\le 2\, e \,r_8\le 1\,. Contamos somando os casos exatos (r_4,r_8) com r_4\in\{0,1,2\} e r_8\in\{0,1\}. Para cada par podemos escolher posições e preencher o resto com os \,8\, dígitos que não são nem \,4\, nem \,8. Assim \#(\text{falha em 4 e em 8}) = \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{1} \binom{6}{i}\binom{6-i}{j} 8^{6-i-j}.Já fizemos essa soma nos cálculos do Caso A/C e obteve-se 870\,400.
    (Resumo dos termos: 8^6,\\ \binom{6}{1}8^5,\\ \binom{6}{1}\binom{5}{1}8^4,\\ \binom{6}{2}8^4,\\ \binom{6}{2}\binom{4}{1}8^3; somando dá 870\,400.)
  • Aplicando inclusão-exclusão: N_{\text{tail}}^{\text{(C)}} = 10^6 - 984\,150 - 885\,735 + 870\,400 = 515.
  • Multiplicando pelas \,7\, escolhas do primeiro dígito, a contribuição do Caso C é \,7\cdot 515 = 3\,605\, números.

Passo 7

Somando as contribuições de todos os casos:
  • Caso A: 6\,770.
  • Caso B: 4\,601.
  • Caso C: 3\,605.
Total:
6\,770 + 4\,601 + 3\,605 = 14\,976.

Resposta

14976

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