Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 aparece pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos são os números naturais de
dígitos em que o dígito
aparece pelo menos
vezes e o dígito
aparece pelo menos
vezes.
Informações relevantes dadas:
- Estamos tratando de números de exatamente
dígitos (ou seja, o primeiro dígito não pode ser ). - Cada posição do número pode conter um dígito de
a , sujeito à restrição do primeiro dígito. - As condições sobre ocorrências são:
- o dígito
aparece em pelo menos posições do total de ; - o dígito
aparece em pelo menos posições do total de .
- o dígito
O que precisamos devolver: a quantidade total de números de
dígitos que satisfazem simultaneamente essas duas restrições.
Passo 2
Plano de contagem (sem começar a calcular ainda): vamos dividir os números conforme o que ocorre no primeiro dígito, porque o primeiro dígito não pode ser
e isso afeta a contagem. Há três tipos possíveis para o primeiro dígito:
- é
; - é
; - é outro dígito não nulo e diferente de
e (há exatamente dessas opções: ).
Para cada caso, contamos quantas sequências para as outras
posições (posições
a
) satisfazem as ocorrências mínimas restantes de
e
. Ou seja, se o primeiro dígito for um
, então nas
posições restantes precisamos de pelo menos
vezes o dígito
e pelo menos
vezes o dígito
, etc.
Para contar sequências das
posições com restrições "ao menos
vezes o dígito
" e "ao menos
vezes o dígito
", usaremos combinatória básica: para contar sequências com número exato de ocorrências usamos escolhas de posições (
) e preenchimento das posições restantes com opções permitidas; e, para tratar as condições “ao menos”, usaremos o princípio da inclusão-exclusão (contar total sem restrição menos os que violam pelo menos uma restrição, ajustando interseções).
Passo 3
Relembrando os conceitos que vamos usar (explicação didática):
- Contar sequências de comprimento
sobre um alfabeto de símbolos sem restrição dá sequências. Aqui, para posições e todos os dígitos a disponíveis, o total sem restrição é . - Para exigir que um dígito apareça exatamente
vezes numa sequência de posições: escolhemos as posições para esse dígito ( maneiras) e preenchermos as outras posições com quaisquer dígitos dos restantes permitidos. - Para uma condição "ao menos
" podemos utilizar inclusão-exclusão: o número de sequências que satisfazem ambas as condições "ao menos de " e "ao menos de " é
Aqui “falha em 4” significa ter menos que
ocorrências de
, etc.
Vou aplicar esse procedimento explicitamente para cada um dos três casos do primeiro dígito.
Passo 4
Caso A: o primeiro dígito é
.
- Contagem de escolhas para o primeiro dígito:
(apenas o dígito ). - Nas
posições restantes precisamos de pelo menos ocorrências de (pois já temos uma no início) e pelo menos ocorrências de . - Notação:
, . - Total de sequências possíveis para as
posições sem restrição: . - Contar quantas falham em ter pelo menos
vezes o : isto é, têm ou ocorrências de . - Sem nenhum
: cada posição entre escolhe um dos outros dígitos . - Exatamente um
: . - Logo
.
- Sem nenhum
- Pelo mesmo raciocínio,
. - Agora a interseção: falha em 4 e em 8 ao mesmo tempo significa ter no máximo
vez o e no máximo vez o . Vamos somar os casos exatos . - Para
: nenhum 4 nem 8 → cada posição tem opções → . - Para
: exatamente um 8 e nenhum 4 → . - Para
: exatamente um 4 e nenhum 8 → . - Para
: exatamente um 4 e exatamente um 8 → . - Soma para a interseção:
- Para
- Agora números concretos (vou calcular passo a passo):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
, .
-
- Substituindo:
-
-
(mesmo valor). -
. -
, então . -
. - Soma =
.
-
-
- Aplicando inclusão-exclusão:
- Como o primeiro dígito foi fixo como
de maneira, a contribuição do Caso A é números.
Passo 5
Caso B: o primeiro dígito é
.
- Primeiro dígito:
escolha (o dígito ). - Nas
posições restantes precisamos de pelo menos ocorrências de (pois nenhuma delas já foi usada no início) e pelo menos ocorrência de (já usamos uma no início, faltando ao menos mais uma). - Notação:
, . - Total sem restrição:
. - Falha em 4 (ter menos que
vezes o ): isso é ter ou ocorrências de . Para cada caso, as outras posições vêm de dígitos (excluindo o ), então Calculamos esse somatório antes: . - Falha em 8 (ter menos que
vez o ): isto é, ter zero ocorrências de nas posições → sequências (cada posição entre os outros dígitos). - Interseção (falha em 4 e em 8): então não há
e o número de s é . Com proibido, cada posição tem opções? Não: com proibido, as opções são os dígitos restantes, mas ao contar variações de usamos as demais opções (excluindo e fica opções). Assim - Valores já calculados ou fáceis:
-
, , . -
. -
, , .
-
- Calcule
: -
-
- Inclusão-exclusão:
- Multiplicando pela escolha do primeiro dígito (
maneira), a contribuição do Caso B é números.
Passo 6
Caso C: o primeiro dígito é outro não-nulo diferente de
e
(há
escolhas:
).
- Primeiro dígito:
escolhas. - Nas
posições restantes precisamos de pelo menos ocorrências de e pelo menos ocorrências de . - Notação:
, . - Total sem restrição para as
posições: . - Falha em 4 (menos que
vezes o ): como no Caso B, . - Falha em 8 (menos que
vezes o ): como no Caso A, . - Interseção (falha em 4 e em 8): isto é,
e . Contamos somando os casos exatos com e . Para cada par podemos escolher posições e preencher o resto com os dígitos que não são nem nem . Assim Já fizemos essa soma nos cálculos do Caso A/C e obteve-se .
(Resumo dos termos:; somando dá .) - Aplicando inclusão-exclusão:
- Multiplicando pelas
escolhas do primeiro dígito, a contribuição do Caso C é números.
Passo 7
Somando as contribuições de todos os casos:
- Caso A:
. - Caso B:
. - Caso C:
.
Total:
Resposta
14976