De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados esperança, confiança e vitória?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: há \,15 jogadores distintos.
  • \,3 times chamados “esperança”, “confiança” e “vitória”.
  • Cada time deve ter exatamente \,5 jogadores.
  • Pergunta: de quantos modos distintos isso pode ser feito? (os times são denominados — ou seja, são distintos entre si).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação detalhada):
  • Fatorial: para um inteiro n\ge1, o fatorial n! é o produto n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1. Ex.: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
    O fatorial conta o número de maneiras de ordenar n objetos distintos.
  • Combinação (escolher sem ordem): \displaystyle \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher um subconjunto de k elementos entre n elementos, sem considerar ordem. A fórmula é
    \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
    Exemplo pequeno: o número de formas de escolher \,2 pessoas entre \,4 é \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=6.
  • Princípio multiplicativo: se um passo pode ser feito de A maneiras e, para cada escolha do primeiro passo, um segundo passo pode ser feito de B maneiras, então os dois passos juntos podem ser feitos de A\cdot B maneiras.
Vou aplicar esses conceitos para contar as divisões em times.

Passo 3

Escolhendo os times passo a passo (método natural):
  1. Primeiro, escolhemos quais \,5 jogadores vão para o time “esperança”. Isso pode ser feito de
    \binom{15}{5}
    maneiras (escolher \,5 entre \,15, sem ordem dentro do time).
  2. Depois, dos \,10 jogadores que restaram, escolhemos \,5 para o time “confiança”. Isso pode ser feito de
    \binom{10}{5}
    maneiras.
  3. Finalmente, os \,5 jogadores restantes formam automaticamente o time “vitória”, o que corresponde a
    \binom{5}{5}=1
    maneira.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de divisões é o produto:
\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5}.
Observação importante: não dividimos por \,3! porque os times têm nomes (são distintos). Se os times fossem indistinguíveis entre si, aí sim dividiríamos por \,3!.

Passo 4

Simplificação algébrica para uma forma em fatoriais:
Usando a fórmula da combinação temos
\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5} = \frac{15!}{5!\,10!}\cdot\frac{10!}{5!\,5!}\cdot 1 = \frac{15!}{5!\,5!\,5!}.
Então a resposta em forma fechada é \displaystyle \frac{15!}{5!\,5!\,5!}.

Passo 5

Cálculo numérico explícito (passo a passo para fazer sem calculadora com números simples):
  • Primeiro calcule \binom{15}{5}. É conhecido que \binom{15}{5}=3003.
    (Uma forma de ver: \binom{15}{5}=\dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{360360}{120}=3003.)
  • Em seguida, \binom{10}{5}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{30240}{120}=252.
  • Multiplicando:
    3003\cdot252 = 3003\cdot(200+50+2) = 3003\cdot200 + 3003\cdot50 + 3003\cdot2.
    Agora:
    3003\cdot200 = 600600,\quad 3003\cdot50 = 150150,\quad 3003\cdot2 = 6006.
    Somando:
    600600+150150+6006 = 756756.
Portanto o número total de modos é \,756756.

Resposta

756756

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