De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados esperança, confiança e vitória?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados: há
jogadores distintos. - Há
times chamados “esperança”, “confiança” e “vitória”. - Cada time deve ter exatamente
jogadores. - Pergunta: de quantos modos distintos isso pode ser feito? (os times são denominados — ou seja, são distintos entre si).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação detalhada):
-
Fatorial: para um inteiro
, o fatorial é o produto . Ex.: .
O fatorial conta o número de maneiras de ordenarobjetos distintos. -
Combinação (escolher sem ordem):
é o número de maneiras de escolher um subconjunto de elementos entre elementos, sem considerar ordem. A fórmula é Exemplo pequeno: o número de formas de escolherpessoas entre é . -
Princípio multiplicativo: se um passo pode ser feito de
maneiras e, para cada escolha do primeiro passo, um segundo passo pode ser feito de maneiras, então os dois passos juntos podem ser feitos de maneiras.
Vou aplicar esses conceitos para contar as divisões em times.
Passo 3
Escolhendo os times passo a passo (método natural):
-
Primeiro, escolhemos quais
jogadores vão para o time “esperança”. Isso pode ser feito de maneiras (escolherentre , sem ordem dentro do time). -
Depois, dos
jogadores que restaram, escolhemos para o time “confiança”. Isso pode ser feito de maneiras. -
Finalmente, os
jogadores restantes formam automaticamente o time “vitória”, o que corresponde a maneira.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de divisões é o produto:
Observação importante: não dividimos por
porque os times têm nomes (são distintos). Se os times fossem indistinguíveis entre si, aí sim dividiríamos por
.
Passo 4
Simplificação algébrica para uma forma em fatoriais:
Usando a fórmula da combinação temos
Então a resposta em forma fechada é
.
Passo 5
Cálculo numérico explícito (passo a passo para fazer sem calculadora com números simples):
-
Primeiro calcule
. É conhecido que .
(Uma forma de ver:.) -
Em seguida,
. -
Multiplicando:Agora:Somando:
Portanto o número total de modos é
.