(3 pontos) Seja f(x) definida pela tabela a seguir:
x -2 -1 1 2
f(x) 1 0 -1 3
a) Construa a tabela de diferenças divididas para esses dados.
b) Usando a fórmula de Newton, determine o polinómio interpolador que miterpona on of fornecidos.
c) Use o polinômio obtido para estimar f(0).

Passo 1

Temos os pontos (-2,1), (-1,0), (1,-1) e (2,3). O objetivo é (a) montar a tabela de diferenças divididas, (b) usar a fórmula de Newton para obter o polinômio interpolador de grau <=3 que passa por esses pontos e (c) avaliar esse polinômio em x=0. Para isso vamos usar a definição de diferença dividida
f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
e estender para ordens superiores de modo recursivo.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas de primeira, segunda e terceira ordem e organizamos numa tabela triangular:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x & f(x) & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]\\\ \hline -2 & 1 & -1 & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3}\\\\ -1 & 0 & -\tfrac12 & \tfrac{3}{2} & \\\\ 1 & -1 & 4 & & \\\\ 2 & 3 & & & \end{array}
Onde
f[-2,-1]=\frac{0-1}{(-1)-(-2)}=-1,\quad f[-1,1]=\frac{-1-0}{1-(-1)}=-\tfrac12,\quad f[1,2]=\frac{3-(-1)}{2-1}=4,
f[-2,-1,1]=\frac{-\tfrac12 -(-1)}{1-(-2)}=\tfrac{1}{6},\quad f[-1,1,2]=\frac{4 -(-\tfrac12)}{2-(-1)}=\tfrac{3}{2},
f[-2,-1,1,2]=\frac{\tfrac32 - \tfrac16}{2-(-2)}=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

A fórmula de Newton para o polinômio de grau <=3 é
P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Substituindo x_0=-2, x_1=-1, x_2=1, x_3=2 e os coeficientes da tabela, obtemos antes de simplificar
P(x)=1 +(-1)(x+2) + \tfrac{1}{6}(x+2)(x+1) + \tfrac{1}{3}(x+2)(x+1)(x-1).
Expandindo e reunindo termos, chega-se a
P(x)=\tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{5}{6}x^2 - \tfrac{5}{6}x - \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Para estimar f(0) basta avaliar P(0):
P(0) = -\tfrac{4}{3}.

Resposta

(a) A tabela de diferenças divididas é
\begin{array}{c|c|c|c|c} x & f(x) & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]\\\ \hline -2 & 1 & -1 & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3}\\\\ -1 & 0 & -\tfrac12 & \tfrac{3}{2} & \\\\ 1 & -1 & 4 & & \\\\ 2 & 3 & & & \end{array}
(b) O polinômio de Newton interpolador é
P(x)=\tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{5}{6}x^2 - \tfrac{5}{6}x - \tfrac{4}{3}.
(c) A estimativa em x=0 é
P(0) = -\tfrac{4}{3}.

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