(3 pontos) Seja
definida pela tabela a seguir:
-2
-1
1
2
1
0
-1
3
a) Construa a tabela de diferenças divididas para esses dados.
b) Usando a fórmula de Newton, determine o polinómio interpolador que miterpona on of fornecidos.
c) Use o polinômio obtido para estimar
.
|
-2 | -1 | 1 | 2 |
|
1 | 0 | -1 | 3 |
b) Usando a fórmula de Newton, determine o polinómio interpolador que miterpona on of fornecidos.
c) Use o polinômio obtido para estimar
Passo 1
Temos os pontos
,
,
e
. O objetivo é (a) montar a tabela de diferenças divididas, (b) usar a fórmula de Newton para obter o polinômio interpolador de grau
que passa por esses pontos e (c) avaliar esse polinômio em
. Para isso vamos usar a definição de diferença dividida
e estender para ordens superiores de modo recursivo.
Passo 2
Calculamos as diferenças divididas de primeira, segunda e terceira ordem e organizamos numa tabela triangular:
Onde
Passo 3
A fórmula de Newton para o polinômio de grau
é
Substituindo
,
,
,
e os coeficientes da tabela, obtemos antes de simplificar
Expandindo e reunindo termos, chega-se a
Passo 4
Para estimar
basta avaliar
:
Resposta
(a) A tabela de diferenças divididas é
(b) O polinômio de Newton interpolador é
(c) A estimativa em
é