Estudar a natureza da série seguinte e determine a soma, caso seja possivel:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{4^{n}+8^{n}}{4^{n}+8^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^{n}+8^{n}}{4^{n}+8^{n}}
ou seja, verificar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. Isso envolve identificar o termo geral e aplicar critérios de convergência de séries numéricas.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série. Para cada n\ge0 temos
a_{n}=\frac{4^{n}+8^{n}}{4^{n}+8^{n}}=1.

Passo 3

Como o termo geral da série é a_{n}=1, note que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq0.
Pelo teste do termo geral (ou teste da divergência), se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0 então a série \sum a_{n} diverge.

Resposta

A série diverge e, portanto, não possui soma finita.🚫

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