Quantos vértices tem um grafo regular de grau 4 com 10 arestas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que a questão tá pedindo. Ela quer saber quantos vértices (nós) tem num grafo que é regular de grau 4 e que tem 10 arestas.
Conteúdo: grafos regulares e a “fórmula do aperto de mãos” (Handshake Lemma).
O que vamos precisar:
  • Entender que num grafo regular de grau , todo vértice tem exatamente arestas saindo dele.
  • Aplicar a soma dos graus dos vértices igual a vezes o número de arestas.

Passo 2

Teoria rápida (Handshake Lemma):
Num grafo qualquer, a soma dos graus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas:
sumvin V deg(v) ;=; 2|E|
Num grafo regular de grau n cdot d ;=; 2|E| com vértices, cada vértice tem grau , então a soma dos graus é . Logo:

Passo 3

Agora, é só encaixar os valores que a gente tem:
  • Grau n cdot 4 ;=; 2 times 10 Longrightarrow n = 2 times 104 .
  • Número de arestas .
    Então:

Resposta

n = 204 = 5
Logo, o grafo regular de grau 4 com 10 arestas tem 5 vértices.

Exercícios relacionados